Beweisarchiv: Algebra: Körper: Zahlencharakter von e

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Irrationalität

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Behauptung

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Die Eulersche Zahl   ist nicht rational.

Annahme:  .

Demnach muss es eine Darstellung von   mit   geben mit   und  .

Wir verwenden die Reihendarstellung

 

von   und erhalten

 

Dann gilt:

 

 

 

 

 

  (*)

Also ergibt die linke Seite des Terms eine ganze Zahl. Folglich muss auch die rechte Seite eine ganze Zahl sein:

 

Dies ist fast die geometrische Reihe. Weil die obenstehende Reihe aber bei   statt bei   beginnt, muss der Wert des ersten Reihenelements abgezogen werden und konvergiert damit gegen  :

 

Also gilt

 

Dies ist nun ein Widerspruch, denn die rechte Seite des Terms (*) kann keine ganze Zahl sein, wenn sie (echt) größer   ist und (echt) kleiner als   ist.

Also kann   nicht rational sein.

 

Quadratische Irrationalität

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Behauptung

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Die Eulersche Zahl   erfüllt keine Gleichung der Form

 

für   mit  .

Wir führen einen Widerspruchsbeweis.

Angenommen es gäbe   mit  , so dass   ist.

Für ein beliebiges   gilt dann:

 

Hier wurde von der ersten auf die zweite Zeile die Reihenentwicklung

 

verwendet.

Also muss   eine ganze Zahl sein.

 

Also ist  , wenn   hinreichend groß ist.

Damit wäre  . (Widerspruch)

 

Insbesondere kann   nicht als Element eines quadratischen Zahlkörpers aufgefasst werden.

Rationale Potenzen von e sind irrational

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Behauptung

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Für jede rationale Zahl   ist   irrational.

Wir nehmen zunächst an   sei eine positive ganze Zahl.

Angenommen   sei rational. Dann gibt es   mit  .

Sei nun   das  -te Niven-Polynom und

 .

Die Ableitung von   ist

 

Demzufolge ist  . Es gilt

 

 .


Also muss   eine positive ganze Zahl sein. Wegen   geht der Linksterm aber gegen null für  . (Widerspruch)

Also ist   irrational. Insbesondere ist auch   irrational.

Wäre   für ein   rational, so wäre auch   rational.

 

Transzendenz

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Behauptung

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Die Eulersche Zahl   ist transzendent über  . Das heißt   erfüllt keine Gleichung der Form

 

mit  ,   und  .

Unter der Annahme   sei algebraisch gibt es eine Gleichung  , mit   und  ,

die   als Lösung besitzt. Sei nun   und

 

Für variables   sei   und für variables   sei

  und  
  gilt  für   und somit auch  

Man wähle die Primzahl   nun so groß, dass   und   ist.

Es ist:

 

Für   besitzt   den Linearfaktor  . Daher ist

 
 
 

Aber  . (Widerspruch)

 

Wikipedia-Verweise

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Irrationale Zahl · Transzendente Zahl · Eulersche Zahl · Beweis der Irrationalität der eulerschen Zahl