Beweisarchiv: Algebra: Gruppen: Sylow-Sätze

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Sei   eine endliche Gruppe der Ordnung  , wobei   Primzahl und   nicht durch   teilbar sei. Sei   die Menge der  -Sylowuntergruppen von   und   deren Anzahl. Dann gilt:

  1.  .
  2.  .
  3. Ist eine Untergruppe   eine  -Gruppe, d.h. ist die Ordnung   eine Potenz von  , so gilt   für ein  .
  4.   operiert durch Konjugation transitiv auf  

Wir zeigen zunächst

Lemma.  

Beweis (Durch Induktion über  ):

Falls  , ist  .

Sei jetzt also ohne Beschränkung der Allgemeinheit  .   operiert auf sich selbst durch Konjugation und zerfällt dadurch in Bahnen. Die Bahnenlänge eines Elements   ist hierbei gleich dem Index des Zentralisators   in  . Die Bahnenlänge ist also genau dann 1, wenn  , d.h. wenn   im Zentrum   liegt. Ansonsten ist   eine echte Untergruppe. Falls dann   Teiler von   ist, hat nach Induktionsvoraussetzung   eine Untergruppe der Ordnung  , die aber ja auch in Untergruppe von   ist, und wir sind fertig.

Wir können also annehmen, dass für   die Ordnung von   nicht durch   teilbar ist; dann muss aber umgekehrt die zugehörige Bahnenlänge Vielfaches von   sein. Da   die Summe aller Bahnenlängen ist, folgt  , das heißt   teilt  . Insbesondere enthält   eine Untergruppe   der Ordnung  . Als Untergruppe des Zentrums ist diese normal, wir können also die Gruppe   und die kanonische Projektion   betrachten. Da   ist, gibt es in dieser nach Induktionsvoraussetzung eine Untergruppe   der Ordnung  . Deren Urbild   hat dann die Ordnung  , liegt also in  .

Damit ist das Lemma bewiesen.


Für den Beweis des Satzes sei jetzt   eine laut Lemma existierende Sylowgruppe. Da durch Konjugation aus einer  -elementigen Untergruppe wieder eine solche wird, operiert   auf  . Sei   die Bahn von  . Da   zumindest für   gilt, ist die Bahnlänge   ein Teiler von  , also zu   teilerfremd.

Sei   eine beliebige  -Untergruppe von  . Auch   operiert auf   durch Konjugation. Hierbei auftretende Bahnlängen sind entweder 1 oder Vielfache von  . Da insgesamt   kein Vielfaches von   ist, muss mindestens einmal die Bahnlänge 1 auftreten, d.h.   normalisiert ein  . Dann ist aber   Untergruppe von   und obendrein  -Gruppe mit mindestens (und folglich genau)   Elementen, also gilt   und folglich  . Dies ist bereits Teil 3 der Satzbehauptung.

Im Spezialfall   gilt sogar, dass   gelten muss, also folgt   und damit Teil 2 und 4 des Satzes. Schließlich hat in diesem Fall   selbst Bahnlänge 1, während alle anderen Bahnlängen Vielfache von   sind. Folglich gilt  , d.i. Teil 1 der Satzbehauptung.

Damit ist der Satz bewiesen.