Beweisarchiv: Algebra: Gruppen: Sylow-Sätze
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Satz
BearbeitenSei eine endliche Gruppe der Ordnung , wobei Primzahl und nicht durch teilbar sei. Sei die Menge der -Sylowuntergruppen von und deren Anzahl. Dann gilt:
- .
- .
- Ist eine Untergruppe eine -Gruppe, d.h. ist die Ordnung eine Potenz von , so gilt für ein .
- operiert durch Konjugation transitiv auf
Beweis
BearbeitenWir zeigen zunächst
Lemma.
Beweis (Durch Induktion über ):
Falls , ist .
Sei jetzt also ohne Beschränkung der Allgemeinheit . operiert auf sich selbst durch Konjugation und zerfällt dadurch in Bahnen. Die Bahnenlänge eines Elements ist hierbei gleich dem Index des Zentralisators in . Die Bahnenlänge ist also genau dann 1, wenn , d.h. wenn im Zentrum liegt. Ansonsten ist eine echte Untergruppe. Falls dann Teiler von ist, hat nach Induktionsvoraussetzung eine Untergruppe der Ordnung , die aber ja auch in Untergruppe von ist, und wir sind fertig.
Wir können also annehmen, dass für die Ordnung von nicht durch teilbar ist; dann muss aber umgekehrt die zugehörige Bahnenlänge Vielfaches von sein. Da die Summe aller Bahnenlängen ist, folgt , das heißt teilt . Insbesondere enthält eine Untergruppe der Ordnung . Als Untergruppe des Zentrums ist diese normal, wir können also die Gruppe und die kanonische Projektion betrachten. Da ist, gibt es in dieser nach Induktionsvoraussetzung eine Untergruppe der Ordnung . Deren Urbild hat dann die Ordnung , liegt also in .
Damit ist das Lemma bewiesen.
Für den Beweis des Satzes sei jetzt eine laut Lemma existierende Sylowgruppe.
Da durch Konjugation aus einer -elementigen Untergruppe wieder eine solche wird, operiert
auf . Sei die Bahn von .
Da zumindest für gilt, ist die Bahnlänge ein Teiler von , also zu teilerfremd.
Sei eine beliebige -Untergruppe von . Auch operiert auf durch Konjugation. Hierbei auftretende Bahnlängen sind entweder 1 oder Vielfache von . Da insgesamt kein Vielfaches von ist, muss mindestens einmal die Bahnlänge 1 auftreten, d.h. normalisiert ein . Dann ist aber Untergruppe von und obendrein -Gruppe mit mindestens (und folglich genau) Elementen, also gilt und folglich . Dies ist bereits Teil 3 der Satzbehauptung.
Im Spezialfall gilt sogar, dass gelten muss, also folgt und damit Teil 2 und 4 des Satzes. Schließlich hat in diesem Fall selbst Bahnlänge 1, während alle anderen Bahnlängen Vielfache von sind. Folglich gilt , d.i. Teil 1 der Satzbehauptung.
Damit ist der Satz bewiesen.