Beweisarchiv: Algebra: Moduln: freie Moduln sind projektiv
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- Moduln: freie Moduln sind projektiv
Voraussetzung
BearbeitenSei ein freier -Modul.
Behauptung
Bearbeitenist projektiv.
Beweis
BearbeitenFür beliebige -Moduln seien Homomorphismen und gegeben, wobei f surjektiv sei.
Ziel ist es, ein zu konstruieren, so dass ist.
ist frei und hat deshalb eine Basis, welche wir als bezeichnen. ( kann endlich oder unendlich sein.) Für jedes ist die Menge nichtleer, weil surjektiv ist. Die Familie
ist eine Familie von nichtleeren Mengen, indiziert durch .
Auf Grund des Auswahlaxioms gibt es also eine Auswahlfunktion von zu , welche für jedes ein „auswählt“ . Weil B eine Basis ist, hat jedes Element eine eindeutige Darstellung als eine endliche Linearkombination von -Elementen:
- ,
wobei die Elemente aus sind und nur endlich viele von null verschieden sind. Man setze jetzt
- .
Es verbleibt nur zu zeigen, dass ein Modulhomomorphismus ist und dass wirklich gilt. Doch ist
für jedes , weil der Menge angehört. Die Behauptungen folgen nun, entweder mittels direkter Verifikation oder aus den universellen Eigenschaften der Basis eines Moduls.
Literatur
BearbeitenGünter Scheja, Uwe Storch: Lehrbuch der Algebra Teil 1 bis 3. Teubner-Verlag.