Beweisarchiv: Algebra: Moduln: freie Moduln sind projektiv

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Moduln: freie Moduln sind projektiv


Voraussetzung

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Sei   ein freier  -Modul.

Behauptung

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  ist projektiv.

Für beliebige  -Moduln   seien Homomorphismen   und   gegeben, wobei f surjektiv sei.

Ziel ist es, ein   zu konstruieren, so dass   ist.

  ist frei und hat deshalb eine Basis, welche wir als   bezeichnen. (  kann endlich oder unendlich sein.) Für jedes   ist die Menge   nichtleer, weil   surjektiv ist. Die Familie

 

ist eine Familie von nichtleeren Mengen, indiziert durch  .

Auf Grund des Auswahlaxioms gibt es also eine Auswahlfunktion   von   zu  , welche für jedes   ein   „auswählt“ . Weil B eine Basis ist, hat jedes Element   eine eindeutige Darstellung als eine endliche Linearkombination von  -Elementen:

 ,

wobei die   Elemente aus   sind und nur endlich viele von null verschieden sind. Man setze jetzt

 .

Es verbleibt nur zu zeigen, dass   ein Modulhomomorphismus ist und dass wirklich   gilt. Doch ist

 

für jedes  , weil   der Menge   angehört. Die Behauptungen folgen nun, entweder mittels direkter Verifikation oder aus den universellen Eigenschaften der Basis eines Moduls.

Literatur

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Günter Scheja, Uwe Storch: Lehrbuch der Algebra Teil 1 bis 3. Teubner-Verlag.