Beweisarchiv: Algebra: Gruppen: Klassifikation endlich erzeugter abelscher Gruppen

Beweisarchiv: Algebra

Halbgruppen: Linksneutrale und rechtsneutrale Elemente
Gruppen: Bahnensatz · Elementordnung 2 und Kommutativität · Untergruppenordnung teilt Gruppenordnung · Klassifikation endlicher abelscher Gruppen · Klassifikation endlich erzeugter abelscher Gruppen · Sylow-Sätze · Archimedische Eigenschaft der reellen Zahlen · Lineare Abbildungen und Matrizen
Ringe: Binomischer Lehrsatz · Boolesche Ringe · Chinesischer Restsatz
Körper: Endlicher Integritätsbereich · Approximationssatz von Liouville· Transzendenz von e und π · Zahlencharakter von e· Die Existenz der reellen Wurzel
Moduln: freie Moduln sind projektiv


Jede endlich erzeugte abelsche Gruppe ist direktes Produkt einer frei-abelschen Gruppe von endlichem Rang und einer endlichen abelschen Gruppe. Hierbei ist der Rang der frei-abelschen Gruppe eindeutig und die endliche Gruppe bis auf Isomorphie eindeutig.

Zur Eindeutigkeit

Bearbeiten

Sei   endlich erzeugte Gruppe und  , wobei   endlich ist. Dann ist   in der Summe rechts die Torsionsuntergruppe (die Menge der Elemente endlicher Ordnung), folglich isomorph zur Torsionsuntergruppe von  . Ferner folgt  , so dass auch   als Dimension dieses  -Vektorraumes eindeutig gegeben ist.

Zur Existenz

Bearbeiten

Sei   eine endlich erzeugte abelsche Gruppe mit additiv geschriebener Verknüpfung. Ist   ein endliches Erzeugendensystem von  , d. h. es gilt  , so definiert dies einen Gruppenepimorphismus   vermöge  . Der Beweis erfolgt per Induktion nach der Länge   des Erzeugendensystems. Für den Induktionsanfang   folgt sofort, dass   die triviale Gruppe ist, und für diese existiert die gewünschte Zerlegung trivialerweise.

Sei also fortan   und die Aussage für von weniger Elementen erzeugte Gruppen bereits gezeigt. Sei   die Projektion auf die erste Komponente und sei   das Bild des Kerns von   unter dieser Projektion. Dies ist eine Untergruppe der ersten Komponente  , also von der Form   mit  . Ohne Beschränkung der Allgemeingültigkeit sei   unter allen Erzeugendensystemen der Länge   derart gewählt, dass   minimiert wird.

Falls  , so gilt  . Hierbei ist   und nach Induktionsvoraussetzung   für ein   und endliches  . Es folgt   wie gewünscht.

Falls dagegen  , wähle ein Element   mit  . Sei  . Per Division mit Rest findet man   mit   und  . Definiere   durch  ,   und ansonsten  . Dann ist auch   ein Erzeugendensystem der Länge   von  . Mit  ,   und ansonsten   ergibt sich wegen  , dass  . Wegen der Minimalität von   ist   ausgeschlossen, d. h.   ist ein Vielfaches von  . Setze daher   für   (insb. also  ) sowie

 .

Da sich   wieder aus   und den anderen Erzeugern kombinieren lässt, ergibt sich  . Dies lässt sich auch schreiben als  . Diese Summenzerlegung ist sogar direkt, denn aus   ergibt sich durch Einsetzen, dass   gilt, also   Vielfaches von   ist. Es ist jedoch bereits  . Nach Induktionsvoraussetzung ist   für ein endliches  . Es folgt   wie gewünscht.