Beweisarchiv: Algebra: Körper: Transzendenz von e und π

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Transzendenz von und

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Der folgende Beweis beruht auf Hilberts Aufsatz "Über die Transzendenz der Zahlen   und  " (siehe unten). Er wird als Widerspruchsbeweis geführt, d. h. es wird angenommen, dass die Zahlen   und   algebraisch seien. Von fundamentaler Bedeutung ist der für alle   geltende Sachverhalt

  (1)

Beim Beweis für   geht man folgendermaßen vor: Man nimmt an, dass   algebraisch sei, also einer Gleichung

  (2)

mit ganzen Koeffizienten genüge. Man betrachtet nun das Integral

 

dessen Integrand das Produkt der Funktionen   und   ist. Dieses Integral multipliziert man nun mit der linken Seite der Gleichung (2) und bekommt folgenden Ausdruck:

 

Diesen Ausdruck kann man aufspalten in   mit

 
 

Ziel ist es nun zu zeigen, dass   ungleich Null ist. Dazu weist man nach, dass   eine ganze von Null verschiedene Zahl und   kleiner als 1 ist.

Um zu zeigen, dass   eine ganze von Null verschiedene Zahl ist, zeigt man mit (1), dass das Integral   eine ganze, durch   teilbare Zahl ist und die übrigen Integrale  ,   sogar mindestens durch   teilbar sind. Nach wenigen Schritten wählt man schließlich   so, dass   eine Primzahl ist, die größer als   und   ist und erhält die gewünschte Forderung für  .

Um zu zeigen, dass   ist, stellt man fest, dass die Funktionen

  und  

als stetige Funktionen auf dem Intervall   durch   bzw.   beschränkt sind. Dann lassen sich die einzelnen Integrale in   sehr gut abschätzen und man kommt zu der Ungleichung:

 

Da   existiert ein genügend großes   sowie ein davon abhängiges  , für welche gilt:

 

Da es unendlich viele Primzahlen gibt, existiert ein  , für das sowohl   als auch   gilt.

Der Transzendenzbeweis von   verläuft ähnlich. Man nimmt ebenfalls an, dass   algebraisch ist. Dann ist auch   algebraisch und Wurzel eines Polynoms mit ganzen Koeffizienten und es gilt:

 

wenn   ist. Es gilt:   ist als konjungiert komplexe Zahl ebenfalls Wurzel des Polynoms. Ausmultiplizieren liefert:

 

wobei die   die Summen der Wurzeln   sind. Einige (wie z.B.   haben den Wert 0 und tragen auf der linken Seite der Gleichung den Wert 1 bei (da  ). Dann ergibt sich:

 

wobei die   jene Summen der   sind, die ungleich Null sind und   ist.

Nun geht man ähnlich wie beim Transzendenzbeweis von   vor. Man multipliziert diese Gleichung wieder mit einem Integral und spaltet die sich ergebende Summe wieder in   auf. Mit Hilfe einiger Fakten aus der Theorie der symmetrischen Funktionen und einiger geschickter Abschätzungen der Integrale zeigt man, dass eine Gleichung   nicht bestehen kann.

Genauere Erläuterungen und Zwischenschritte zu den Transzendenzbeweisen von   und   kann man den ausführlichen Beweisen von Fritsch entnehmen (siehe Weblinks).

Literatur

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  • D. Hilbert Über die Transcendenz der Zahlen   und  . Mathematische Annalen 43, 216-219 (1893).
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Wikipedia-Verweise

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Transzendente Zahl · Kreiszahl · Eulersche Zahl