Beweisarchiv: Algebra: Gruppen: Elementordnung 2

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Elementordnung 2 impliziert Kommutativität

Voraussetzung

$G\$ sei eine beliebige Halbgruppe mit Neutralelement $1\$. Für jedes Element $x\in G$ gelte $x^{2}=1\$.

Behauptung

$G\$ ist eine abelsche Gruppe.

Beweis

1. Wegen $xx=1\$ hat jedes Element $x\in G$ ein inverses Element (nämlich sich selbst). Damit ist $G\$ als Gruppe erkannt.
2. Seien $x,y\in G$ beliebig. Wir müssen $xy=yx\$ nachweisen, und dazu rechnen wir:
   $xy=x1y=x(xy)^{2}y=xxyxyy=1yx1=yx\$.
   Dabei wird für das 2. und das 4. Gleichheitszeichen die Voraussetzung benutzt.

Wikipedia-Verweise

abelsche Gruppe - Halbgruppe - Monoid