Beweisarchiv: Algebra: Gruppen: Elementordnung 2

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Elementordnung 2 impliziert KommutativitätBearbeiten

VoraussetzungBearbeiten

  sei eine beliebige Halbgruppe mit Neutralelement  . Für jedes Element   gelte  .

BehauptungBearbeiten

  ist eine abelsche Gruppe.

BeweisBearbeiten

  1. Wegen   hat jedes Element   ein inverses Element (nämlich sich selbst). Damit ist   als Gruppe erkannt.
  2. Seien   beliebig. Wir müssen   nachweisen, und dazu rechnen wir:
     .
    Dabei wird für das 2. und das 4. Gleichheitszeichen die Voraussetzung benutzt.

Wikipedia-VerweiseBearbeiten

abelsche Gruppe - Halbgruppe - Monoid