Beweisarchiv: Algebra: Gruppen: Elementordnung 2

Beweisarchiv: Algebra

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Elementordnung 2 impliziert Kommutativität

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Voraussetzung

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  sei eine beliebige Halbgruppe mit Neutralelement  . Für jedes Element   gelte  .

Behauptung

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  ist eine abelsche Gruppe.

  1. Wegen   hat jedes Element   ein inverses Element (nämlich sich selbst). Damit ist   als Gruppe erkannt.
  2. Seien   beliebig. Wir müssen   nachweisen, und dazu rechnen wir:
     .
    Dabei wird für das 2. und das 4. Gleichheitszeichen die Voraussetzung benutzt.

Wikipedia-Verweise

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abelsche Gruppe - Halbgruppe - Monoid