Beweisarchiv: Algebra: Ringe: Chinesischer Restsatz

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Chinesischer Restsatz

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(Für kommutative Ringe mit 1)

Sei   ein kommutativer Ring mit 1,   Ideale von  , für die gilt

  für  ,

und  . Dann gibt es ein  , für das gilt

  für  .

Dieses   ist eindeutig Modulo  .

Behauptung: Ist  , so gilt mit den Voraussetzungen des Satzes

 

Der Beweis der Behauptung erfolgt durch Induktion nach  .

Für  :   laut Voraussetzungen des Satzes.

Für  : Nach Induktionsvoraussetzung gilt

 

Da ferner   gilt, folgt

 

und wegen   die Induktionsbehauptung.

Damit ist die Behauptung bewiesen.

Aus Symmetriegründen gilt dann allgemeiner für  

 

Da für beliebige Ideale I,J von R gilt:  , folgt durch Induktion

 .

Für   gilt  , also gibt es ein   und ein  , für die  , also   ist.

Setze  . Dann gilt

  für  .

Also löst   das Kongruenzensystem. Löst ein weiteres   das Kongruenzensystem löst, so gilt für  

 

also liegt   in jedem   also auch in  , d.h. es ist  .

Damit ist der Beweis abgeschlossen.