(Für kommutative Ringe mit 1)
Sei ein kommutativer Ring mit 1, Ideale von , für die gilt
- für ,
und . Dann gibt es ein , für das gilt
- für .
Dieses ist eindeutig Modulo .
Behauptung: Ist , so gilt mit den Voraussetzungen des Satzes
-
Der Beweis der Behauptung erfolgt durch Induktion nach .
Für : laut Voraussetzungen des Satzes.
Für : Nach Induktionsvoraussetzung gilt
-
Da ferner gilt, folgt
-
und wegen die Induktionsbehauptung.
Damit ist die Behauptung bewiesen.
Aus Symmetriegründen gilt dann allgemeiner für
-
Da für beliebige Ideale I,J von R gilt: , folgt durch Induktion
- .
Für gilt , also gibt es ein
und ein , für die , also ist.
Setze . Dann gilt
- für .
Also löst das Kongruenzensystem.
Löst ein weiteres das Kongruenzensystem löst, so gilt für
-
also liegt in jedem also auch in , d.h. es ist
.
Damit ist der Beweis abgeschlossen.