Beweisarchiv: Algebra: Gruppen: Lineare Abbildungen und Matrizen

Beweisarchiv: Algebra

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Moduln: freie Moduln sind projektiv

Satz

Seien $n,m\in \mathbb {N}$ mit $n,m\geq 1$ sowie $K\in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}$ und $L:K^{n}\to K^{m}$ linear: Dann existiert eine $m\times n$-Matrix $A\in K^{m\times n}$ mit $L(x)=Ax$ für alle $x\in K^{n}$.

Beweis

Sei $L$ entsprechend der obigen Definition gegeben und sei $(e_{1},\ldots ,e_{n})$ die kanonische Basis des $K^{n}$. Dann definiere die $i$-te Spalte von $A$ durch $Ae_{i}:=Le_{i}$ für $1\leq i\leq n$. Sei nun $x=(x_{1},\ldots ,x_{n})^{T}\in K^{n}$. Dann gilt mit den Rechenregeln für Matrizen:

${\begin{aligned}L(x)&=L(x_{1}e_{1}+\ldots +x_{n}e_{n})=L(x_{1}e_{1})+\ldots +L(x_{n}e_{n})\\&=x_{1}L(e_{1})+\ldots +x_{n}L(e_{n})=x_{1}Ae_{1}+\ldots +x_{n}Ae_{n}\\&=A(x_{1}e_{1})+\ldots +A(x_{n}e_{n})=A(x_{1}e_{1}+\ldots +x_{n}e_{n})\\&=Ax\\\end{aligned}}$.

$\Box$