Beweisarchiv: Algebra: Gruppen: Bahnensatz

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Der Bahnensatz beschreibt eine Bijektion zwischen der Bahn eines Mengenelements unter einer Gruppenoperation und der Menge der (Links-)Nebenklassen der zugehörigen Stabilisatoruntergruppe.

Sei

eine Gruppe und

eine Gruppenoperation von auf .

Wir werden folgende Bezeichnungen verwenden:

  • mit sei die Bahn von ,
  • die Stabilisatoruntergruppe von und
  • mit die Menge der (Links-)Nebenklassen von in .

SatzBearbeiten

Für jedes

 

ist die Abbildung

 

eine wohldefinierte Bijektion.

BeweisBearbeiten

  1. Wohldefiniertheit: Aus   folgt  , also  .
  2. Surjektivität: Ist klar nach Definition der Bahn.
  3. Injektivität: Es bezeichne   das neutrale Element von  . Aus   folgt  , also  . Dies impliziert  .
 

Wikipedia-VerweiseBearbeiten

Bahnformel