Beweisarchiv: Algebra: Gruppen: Bahnensatz

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Der Bahnensatz beschreibt eine Bijektion zwischen der Bahn eines Mengenelements unter einer Gruppenoperation und der Menge der (Links-)Nebenklassen der zugehörigen Stabilisatoruntergruppe.

Sei

\ (G,\cdot )

eine Gruppe und

\circ :G\times M\rightarrow M

eine Gruppenoperation von $G$ auf $M$ .

Wir werden folgende Bezeichnungen verwenden:

$G\circ x:=\{m\in M\ |\ \exists g\in G$ mit $m=g\circ x\}\subseteq M$ sei die Bahn von $x$ ,
$G_{x}:=\{g\in G\ |\ g\circ x=x\}\leq G$ die Stabilisatoruntergruppe von $x$ und
$G/G_{x}:=\{A\in {\mathcal {P}}(G)\ |\ \exists g\in G$ mit $\ A=g\cdot G_{x}\}\subseteq {\mathcal {P}}(G)$ die Menge der (Links-)Nebenklassen von $G_{x}$ in $G$ .

Satz

Für jedes

x\in M

ist die Abbildung

G/G_{x}\rightarrow G\circ x\ ,\ g\cdot G_{x}\mapsto g\circ x

eine wohldefinierte Bijektion.

Beweis

Wohldefiniertheit: Aus $s\cdot G_{x}=t\cdot G_{x}$ folgt $s^{-1}\cdot t\in G_{x}$ , also $s\circ x=s\circ ((s^{-1}\cdot t)\circ x)=(s\cdot s^{-1}\cdot t)\circ x=t\circ x$ .
Surjektivität: Ist klar nach Definition der Bahn.
Injektivität: Es bezeichne $e$ das neutrale Element von $G$ . Aus $s\circ x=t\circ x$ folgt $(s^{-1}\cdot t)\circ x=s^{-1}\circ (t\circ x)=s^{-1}\circ (s\circ x)=(s^{-1}\cdot s)\circ x=e\circ x=x$ , also $s^{-1}\cdot t\in G_{x}$ . Dies impliziert $s\cdot G_{x}=t\cdot G_{x}$ .

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Wikipedia-Verweise

Bahnformel