Beweisarchiv: Algebra: Ringe: Binomischer Lehrsatz

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Moduln: freie Moduln sind projektiv

Voraussetzung

Sei $R$ ein kommutativer unitärer Ring sowie $a,b\in R,n\in \mathbb {N} _{0}$ beliebig.

Behauptung

Es gilt $(a+b)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}a^{k}b^{n-k}$.

Beweis

Durch vollständige Induktion über $n$.

$n=0$:

$(a+b)^{0}=1={0 \choose 0}a^{0}b^{0}=\sum _{k=0}^{0}{0 \choose k}a^{k}b^{0-k}$

Induktionsschritt: $n\rightarrow n+1$

Annahme: $(a+b)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}a^{k}b^{n-k}$ gilt für ein $n\in \mathbb {N} _{0}$

Behauptung: $(a+b)^{n+1}=\sum _{k=0}^{n+1}{n+1 \choose k}a^{k}b^{n+1-k}$

Beweis:

Durch Verwenden der Annahme gilt:

$(a+b)^{n+1}=(a+b)(a+b)^{n}=(a+b)\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}a^{k}b^{n-k}$

$=a\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}a^{k}b^{n-k}+b\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}a^{k}b^{n-k}$ (1. Anwenden des Distributivgesetzes)

$=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}a^{k+1}b^{n-k}+\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}a^{k}b^{n+1-k}$ (2. Hineinmultiplizieren der Faktoren $a,b$ in die jeweilige Summe)

Jetzt müssen die Summen wieder vernünftig zusammengeführt werden. Dazu wird folgende Identität verwendet:

${n \choose k-1}+{n \choose k}={n+1 \choose k}$

Diese lässt sich durch einfaches Ausrechnen beweisen.

Um die entsprechenden Binomialkoeffizienten zu erhalten, wird in (2) der Index der linken Summe um 1 erhöht:

$\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}a^{k+1}b^{n-k}+\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}a^{k}b^{n+1-k}$

$=\sum _{k=1}^{n+1}{n \choose k-1}a^{k}b^{n-k+1}+\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}a^{k}b^{n+1-k}$ (3. Indexverschiebung des linken Summanden)

$=a^{n+1}+\sum _{k=1}^{n}{n \choose k-1}a^{k}b^{n-k+1}+\sum _{k=1}^{n}{n \choose k}a^{k}b^{n+1-k}+b^{n+1}$ (4. je einen Summanden aus der Summe herausziehen)

$=b^{n+1}+a^{n+1}+\sum _{k=1}^{n}{\left({n \choose k-1}+{n \choose k}\right)a^{k}b^{n+1-k}}$ (5. Summen addieren und Distributivgesetz anwenden)

$={n+1 \choose 0}a^{0}b^{(n+1)-0}+{n+1 \choose n+1}a^{n+1}b^{(n+1)-(n+1)}+\sum _{k=1}^{n}{n+1 \choose k}a^{k}b^{n+1-k}$

$=\sum _{k=0}^{n+1}{n+1 \choose k}a^{k}b^{n+1-k}$

$\Box$

Wikipedia-Verweise

Binomischer Lehrsatz - Binomialkoeffizient