Beweisarchiv: Algebra: Ringe: Binomischer Lehrsatz

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Voraussetzung

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Sei   ein kommutativer unitärer Ring sowie   beliebig.

Behauptung

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Es gilt  .

Durch vollständige Induktion über  .

 :

 

Induktionsschritt:  

Annahme:   gilt für ein  

Behauptung:  

Beweis:

Durch Verwenden der Annahme gilt:

 
  (1. Anwenden des Distributivgesetzes)
  (2. Hineinmultiplizieren der Faktoren   in die jeweilige Summe)

Jetzt müssen die Summen wieder vernünftig zusammengeführt werden. Dazu wird folgende Identität verwendet:

 

Diese lässt sich durch einfaches Ausrechnen beweisen.


Um die entsprechenden Binomialkoeffizienten zu erhalten, wird in (2) der Index der linken Summe um 1 erhöht:

 
  (3. Indexverschiebung des linken Summanden)
  (4. je einen Summanden aus der Summe herausziehen)
  (5. Summen addieren und Distributivgesetz anwenden)
 
 
 

Wikipedia-Verweise

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Binomischer Lehrsatz - Binomialkoeffizient