Beweisarchiv: Algebra: Gruppen: Klassifikation endlicher abelscher Gruppen

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Jede endliche abelsche Gruppe ist direktes Produkt zyklischer Gruppen von Primzahlpotenzordnung. Bis auf Reihenfolge und Isomorphie der Summanden ist diese Zerlegung eindeutig.

Sei   eine endliche abelsche Gruppe der Ordnung  . Für   ist  ,  , d.h. die Multiplikation mit  , ein Gruppenendomorphismus.

Die Eindeutigkeitsaussage ergibt sich wie folgt: Falls

 

betrachte   für   prim und  . Falls  , so ist   auf dem Summanden   ein Isomorphismus. Falls  , umfasst der Kern der Einschränkung von   auf   genau   Elemente. Folglich ist

 

und daher

 

Also lassen sich die Summanden in der obigen direkten Summe eindeutig zurückgewinnen.


Für die Existenzaussage beweisen wir zunächst zwei Hilfssätze:


Lemma 1. Ist  , so ist jeder Primteiler von   auch Teiler von  .

Beweis (per Induktion nach  ): Der Fall   ist klar, da   dann gar keine Primteiler hat.

Sei daher jetzt   und die Behauptung gelte für alle kleineren Gruppenordnungen. Wähle ein  . Für die Ordnung   von   gilt dann   nach Wahl von  . Dann ist   eine abelsche Gruppe der kleineren Ordnung   und wird ebenfalls von der Multiplikation mit   annulliert. Nach Induktionsvoraussetzung hat   nur Primteiler, die   teilen. Nach Voraussetzung gilt  , so dass auch   nur solche Primteiler hat. Damit ist das Lemma bewiesen.


Lemma 2. Ist   prim und   abelsch von Primzahlpotenzordnung   und hat   maximale Ordnung, so ist   ein direkter Summand von  , d.h. es gibt eine Untergruppe   mit  .

Beweis (per Induktion nach  ): Falls   zyklisch ist (dies umfasst auch den Fall  , ist die Behauptung klar, denn dann gilt  .

Ist dagegen   nicht zyklisch, so hat jedes Element höchstens Ordnung  , d.h. die  -malige Hintereinanderausührung von   bildet ganz   auf 0 ab. Das Bild von   enthält mindestens   Elemente, so dass sich   und folglich   ergibt. Deswegen können wir   wählen; dann ist   zyklisch von der Ordnung   und wir können folglich weiter ein   finden. Es ist dann auch   zyklisch von Ordnung   und diese beiden Gruppen haben trivialen Durchschnitt. Die zyklische Gruppe   kann nur eine Untergruppe der Ordnung   enthalten, also gilt   oder  . Sei   diejenige der Gruppen  ,   mit  . Allgemein ist für   die Ordnung vno   höchstens so groß wie die Ordnung von  . Das Element   hat wegen   dieselbe Ordnung wie  , insbesondere ist diese Ordnung maximal für Elemente von  . Nach Induktionsvoraussetzung ist   für eine Untergruppe  . Ist   das Urbild von  , so folgt  . Damit ist das Lemma bewiesen.


Wir beweisen auch die Existenzaussage des eigentlichen Satz durch Induktion nach  . Der Fall   ist klar, denn die triviale Gruppe ist das leere Produkt.

Sei daher jetzt   und die Aussage des Satzes gelte für alle Gruppen kleinerer Ordnung.

Wir betrachten zunächst den Fall, dass   gilt mit teilerfremden Zahlen  . Dann gibt es ganze Zahlen   mit  .

Für   gilt  . Hierbei ist wegen   der erste Summand in   und ebenso der zweite aus  , folglich gilt  . Für   gilt  , folglich  . Zusammen mit   bedeutet dies  .

Nach Lemma 1 und wegen der Teilerfremdheit von   und   kann weder   noch   gelten, d.h. beide direkten Summanden sind echte Untergruppen, folglich nach Induktionsvoraussetzung von der behaupteten Form und damit gilt der Satz auch für  .

Es bleibt noch der Fall, dass keine Zerlegung   wie oben existiert, d.h.   is eine Primzahlpotenz,   mit   prim,  . Wähle   von maximaler Ordnung und zerlege   gemäß Lemma 2. Nach Induktionsvoraussetzung ist   direkte Summe von zyklischen Gruppen von Primpotenzordnung, damit gilt dies aber auch für  .

Damit ist der Satz bewiesen.