Beweisarchiv: Algebra: Körper: Approximationssatz von Liouville

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Ist   eine algebraische Zahl vom Grad  , so gibt es eine reelle Zahl  , so dass für alle von   verschiedenen (im Falle   also für alle) rationalen Zahlen   gilt:

 

Sei   algebraisch vom Grad   und entsprechend Nullstelle des Polynoms   vom Grad  , d.h.

 

mit   und  .

Da   Nullstelle ist, lässt sich durch Polynomdivision im Ring   der Linearfaktor   abspalten:

 

Hierbei liegt das Polynom   allerdings allgemein nicht in  , sondern hat lediglich algebraische Koeffizienten. Aber zumindest ist die Funktion  ,   stetig, so dass es reelle Zahlen  ,   gibt mit

 , falls  .

Da das Polynom   nur endlich viele Nullstellen hat, können wir oBdA. zusätzlich voraussetzen, dass keine weitere Nullstelle in der besagten Umgebung von   liegt, d.h.

 , falls   und  .


Behauptung: Die Aussage des Satzes gilt, wenn man

 

wählt.

Zum Beweis sei also  ,   und es gelte

 

Es ist zu zeigen, dass hieraus   folgt.

Zunächst ergibt sich aus (4) sofort

 

wegen (2) also  . Dann folgt weiter aus (1) und nochmals (4)

 

also

 

Nun ist jedoch

 

und vom Betrag kleiner als 1, muss also 0 sein. Dann gilt auch   und wegen (3) und (5) schließlich  , was zu zeigen war.

Alternativer Beweis

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Seien   und   wie oben. Falls   nicht reell ist, gilt die Aussage des Satzes mit  . Es sei daher im Weiteren  .

Sei   beliebig und

 

Behauptung: Die Aussage des Satzes gilt, wenn man

 

wählt.

Zum Beweis sei wiederum   mit  . Falls   ist, sind wir fertig. Ist dagegen  , so folgt nach dem Mittelwertsatz der Differenzialrechnung

 

für eine Stelle   zwischen   und  , also insb.  . Somit ist  . Außerdem ist ebenso wie im ersten Beweis  . Da das Polynom   von minimal möglichem Grad ist, ist es über   irreduzibel, nach dem Lemma von Gauß auch über  . Dann ist insb. (außer im trivialen Fall  ) die rationale Zahl   keine Nullstelle, es folgt   und somit

 

bzw.

 

Korollar

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Ist   und gibt es zu jedem   eine rationale Zahl   mit   und  , so ist   transzendent.

Insbesondere ist die Liouville-Zahl

 

transzendent.

Ist   nicht transzendent, so ist es algebraisch von einem Grad  . Ist dann   wie im obigen Satz gewählt, so kann   nur gelten, wenn   ist. Wenn hierbei   hinreichend groß ist, kann diese Ungleichung jedoch nicht erfüllt sein, denn wenn   ist, ist die rechte Seite  .

Im Fall   ist die  -te Teilsumme   eine rationale Zahl mit Nenner   und natürlich von   verschieden. Es gilt

 

so dass mit dem ersten Teil des Korollars die Transzendenz von   folgt.