Beweisarchiv: Algebra: Ringe: Boolesche Ringe

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Charakteristik 2 und Kommutativität

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Voraussetzung

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  sei ein Ring und für jedes Element   gelte  .

(Hat   zusätzlich auch ein Einselement, dann nennt man dies einen booleschen Ring.)

Behauptung

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  1. Für alle   gilt:  .
  2.   ist kommutativ.

1. Sei   beliebig. Wir rechnen:

 .

(Bei der ersten und dritten Gleichheit wird die Voraussetzung benutzt, bei der zweiten Gleichheit wird distributiv ausmultipliziert.) Zusammengefasst haben wir also die Gleichung

 .

Durch zweimaliges Subtrahieren von   auf beiden Seiten ergibt sich die Behauptung.

2. Seien   beliebig. Wir müssen   nachweisen, und dazu rechnen wir:

 .

(Bei der ersten und dritten Gleichheit wird die Voraussetzung benutzt, bei der zweiten Gleichheit wird distributiv ausmultipliziert.) Zusammengefasst haben wir also die Gleichung

 .

Subtrahieren von   und   auf beiden Seiten ergibt

 , also  .

Da aber nach Teil 1 jedes Element mit seinem additiven Inversen übereinstimmt, bedeutet dies  .

Wikipedia-Verweise

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boolescher Ring - Charakteristik - Ringtheorie