Beweisarchiv: Algebra: Körper: Endlicher Integritätsbereich

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Jeder endliche Integritätsbereich ist ein Körper

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Voraussetzung

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Der Ring   sei endlich und ein Integritätsbereich.

(Ein Integritätsbereich ist ein nullteilerfreier kommutativer Ring mit Einselement  .)

Behauptung

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  ist ein Körper.

Beweis 1 (kombinatorisch)

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  sei ein Element des Ringes mit  . Wir müssen zeigen, dass   ein multiplikatives Inverses hat, denn alle anderen Körperaxiome sind in einem kommutativen Ring mit   schon erfüllt.

Dazu betrachten wir die Abbildung   (Linksmultiplikation mit  ) und zeigen, dass diese injektiv ist.

Seien daher zwei Elemente   mit   gegeben. Das heißt  , also  . Da   nullteilerfrei und   ist, muss   sein, also  . Damit ist f als injektiv nachgewiesen.

Eine injektive Funktion einer endlichen Menge in sich selbst ist auch surjektiv, also ist   bijektiv. Die   hat also genau ein Urbild   unter der Funktion  . Für dieses gilt  , es ist also das gesuchte inverse Element zu   (wobei noch die Kommutativität des Ringes eingeht).

Beweis 2 (mit linearer Algebra)

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Es sei   das Bild des kanonischen Ringhomomorphismus  ;   ist ein endlicher Körper, und   ist eine  -Algebra.

Wie im ersten Beweis betrachten wir die Linksmultiplikation mit einem Element  ,

 

und wie im ersten Beweis folgt die Injektivität dieser Abbildung. Sie ist ein  -linearer Endomorphismus des endlichdimensionalen Vektorraumes  , nach der Dimensionsformel also auch surjektiv. Das weitere Vorgehen ist wie in Beweis 1.

Beweis 3 (mit Körpertheorie)

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  sei wie in Beweis 2, und es sei   der Quotientenkörper von  .   ist eine endliche, also algebraische Erweiterung von  . Für jedes Element   ist   eine Körpererweiterung von  , insbesondere ist   in   und damit in   invertierbar.

Beweis 4 (mit kommutativer Algebra)

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Endliche Ringe sind artinsch, und artinsche Integritätsbereiche sind Körper.

Verschärfung: Einselement muss nicht vorausgesetzt werden

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Die Voraussetzung kann dahingehend abgeschwächt werden, dass   ein endlicher nullteilerfreier kommutativer Ring mit mindestens zwei Elementen ist: Sei  . Die unendlich vielen Elemente   können nach dem Schubfachprinzip nicht alle verschieden sein, es gibt also natürliche Zahlen   mit   und  . setze   (beachte  , die Potenz kann also gebildet werden). Sei   beliebig. Dann

 

Wegen   folgt   und somit   bzw.  . Analog folgt  . Somit ist   Einselement von   (und als Potenz von   auch von 0 verschieden), d.h. die ursprüngliche Voraussetzung des Satzes ist erfüllt.

Wikipedia-Verweise

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Injektivität - Integritätsbereich - Körper - Ringtheorie - Surjektivität