Beweisarchiv: Funktionalanalysis: Hilberträume: Parallelogrammgleichung

Beweisarchiv: Funktionalanalysis

Hilberträume: · Cauchy-Schwarz'sche Ungleichung · Parallelogrammgleichung · Über eine Abschwächung der heisenbergschen Vertauschungsrelation
Ein Supremumsprinzip im Zusammenhang mit drei Sätzen von Krein–Milman, Klee–Straszewicz und Bauer ·


Ein Banachraum ist genau dann ein Hilbertraum, wenn die Parallelogrammgleichung erfüllt istBearbeiten

VoraussetzungBearbeiten

  sei ein normierter Raum über dem Körper  , wobei   der Körper der reellen oder der komplexen Zahlen ist.

Behauptung 1Bearbeiten

Die Norm   wird genau dann durch ein Skalarprodukt  erzeugt, wenn für alle  die Parallelogrammgleichung

 

gilt. Ein normierter Raum ist also genau dann ein Prähilbertraum, wenn die Parallelogrammgleichung gilt.

Behauptung 2Bearbeiten

Ein Banachraum   ist genau dann ein Hilbertraum, wenn die Parallelogrammgleichung gilt.

BeweisBearbeiten

Beweis der Behauptung 1Bearbeiten

Teil 1: Skalarprodukt erfüllt ParallelogrammgleichungBearbeiten

Wird die Norm durch ein Skalarprodukt erzeugt, gibt es also ein Skalarprodukt   mit   für alle  , so folgt aus den Rechenregeln für das Skalarprodukt

 

Demnach gilt die Parallelogrammgleichung.

Teil 2: Norm, die Parallelogrammgleichung erfüllt, lässt sich durch Skalarprodukt erzeugenBearbeiten

Sei nun   eine Norm, die die Parallelogrammgleichung erfüllt und die Funktion   im Falle eines reellen Vektorraums durch

 

und im Falle eines komplexen Vektorraums durch

 

definiert.

Zu zeigen ist erstens, dass   tatsächlich ein Skalarprodukt ist und zweitens, dass die Norm durch dieses Skalarprodukt erzeugt wird. Damit ein Skalarprodukt vorliegt, muss die betrachtete Funktion für alle   und für alle   folgende Eigenschaften haben:

  1. positiv definit:  , und   nur für  .
  2. symmetrisch bzw. hermitesch:
    • symmetrisch:   im Fall eines reellen Vektorraums oder
    • hermitesch:   im Fall eines komplexen Vektorraums
  3. bilinear im Fall eines reellen bzw. sesquilinear im Fall eines komplexen Vektorraums
    •  
    •  
    •   im reellen bzw.
    •   im komplexen Fall.

Für die Bilinearität bzw. Sesquilinearität reicht es, das erste Argument zu betrachten, also zu zeigen, dass die betrachtete Funktion im ersten Arguments additiv und homogen ist, dass also

  und
 

gelten, die Eigenschaften für das zweite Argument folgen dann unmittelbar aus symmetrisch bzw. hermitesch.

positiv definitBearbeiten

Wegen der Eigenschaften der Norm gilt für den Realteil

 

und für den Imaginärteil (der im Fall   wegfällt)

 

weil  .

Somit gilt in jedem Fall

 .

Die Positiv-Definitheit folgt damit unmittelbar aus den Eigenschaften der Norm; zusätzlich folgt, dass die Norm durch dieses Skalarprodukt erzeugt wird (sofern tatsächlich ein Skalarprodukt vorliegt).

symmetrisch bzw. hermiteschBearbeiten

Es gilt

 .

Wegen   gilt

 ,

das betrachtete Skalarprodukt ist also tatsächlich symmetrisch im reellen und hermitesch im komplexen Fall.

additiv im ersten ArgumentBearbeiten

Der Beweis der Additivität ist komplizierter. Dazu wird zuerst gezeigt, dass für alle   die Beziehung

 

gilt. Diese Beziehung wird zunächst für den Realteil gezeigt:

 
 
(nun wird die Parallelogrammgleichung angewendet)
 
 .

Im reellen Fall ist damit die Beziehung gezeigt; im komplexen Fall ist auf analoge Weise diese Beziehung für den Imaginärteil zu zeigen:

 
 
(nun wird die Parallelogrammgleichung angewendet)
 
 .

Setzt man   so gilt wegen  

 .

Daraus und mit  ,  ;   folgt

 .

Somit ist die Additivität gezeigt.

homogen im ersten ArgumentBearbeiten

Die Homogenität im ersten Argument wird schrittweise für   natürlich, ganzzahlig, rational, reell und komplex gezeigt.

Der Fall   natürlich wird mit vollständiger Induktion gezeigt. Als Induktionsanfang wurde bereits   für   gezeigt. Als Induktionsvoraussetzung gelte   für  . Sei nun  . Dann folgt

  (Anwendung der Additivität)
  (Anwendung der Induktionsvoraussetzung)
 .

Sei nun   eine beliebige negative ganze Zahl. Dann gilt

 
 
 
 .

Ist   rational mit   ganzzahlig, so folgt aus

 , dass
 .

Sei nun   reell als Grenzwert rationaler Zahlen dargestellt. Da die Norm ein stetiges Funktional ist, ist auch   stetig und es gilt

 .

Für einen reellen Vektorraum ist der Beweis der Homogenität hier beendet; für einen komplexen Vektorraum muss noch der Fall   komplex behandelt werden. Dazu setzt man zuerst   und beachtet wieder, dass   gilt:

 
 
 
 
 
 .

Für   gilt dann

 .

Somit ist die Homogenität auch für komplexe Vektorräume bewiesen.

Beweis der Behauptung 2Bearbeiten

Für die Behauptung 2 ist lediglich zu zeigen, dass der normierte Raum   genau dann vollständig ist, wenn der entsprechende Prähilbertraum   vollständig ist. Das folgt aber unmittelbar daraus, dass beide Räume die gleiche Norm und daher auch die gleiche Metrik haben.

LiteraturBearbeiten

  • Avner Friedman: Foundations of Modern Analysis, Dover, New York 1982, ISBN 0-486-64062-0
  • A.N. Kolmogorov, S.V. Fomin: Reelle Funktionen und Funktionalanalysis. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1975.

Wikipedia-VerweiseBearbeiten