(
X
,
‖
.
‖
)
{\displaystyle \left(X,\|.\|\right)}
normierter Raum über dem Körper
K
{\displaystyle K\!}
K
{\displaystyle K\!}
reellen oder der komplexen Zahlen ist.
Die Norm
‖
.
‖
{\displaystyle \|.\|}
Skalarprodukt
⟨
.
,
.
⟩
{\displaystyle \langle .,.\rangle }
x
,
y
∈
X
{\displaystyle x,y\in X}
Parallelogrammgleichung
‖
x
+
y
‖
2
+
‖
x
−
y
‖
2
=
2
‖
x
‖
2
+
2
‖
y
‖
2
{\displaystyle \|x+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}=2\|x\|^{2}+2\|y\|^{2}}
gilt. Ein normierter Raum ist also genau dann ein Prähilbertraum , wenn die Parallelogrammgleichung gilt.
Ein Banachraum
(
X
,
‖
.
‖
)
{\displaystyle \left(X,\|.\|\right)}
Hilbertraum , wenn die Parallelogrammgleichung gilt.
Beweis der Behauptung 1
Bearbeiten
Teil 1: Skalarprodukt erfüllt Parallelogrammgleichung
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Wird die Norm durch ein Skalarprodukt erzeugt, gibt es also ein Skalarprodukt
⟨
.
,
.
⟩
{\displaystyle \langle .,.\rangle }
‖
x
‖
2
=
⟨
x
,
x
⟩
{\displaystyle \|x\|^{2}=\langle x,x\rangle }
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
‖
x
+
y
‖
2
+
‖
x
−
y
‖
2
=
⟨
x
+
y
,
x
+
y
⟩
+
⟨
x
−
y
,
x
−
y
⟩
=
⟨
x
,
x
⟩
+
⟨
x
,
y
⟩
+
⟨
y
,
x
⟩
+
⟨
y
,
y
⟩
+
⟨
x
,
x
⟩
−
⟨
x
,
y
⟩
−
⟨
y
,
x
⟩
+
⟨
y
,
y
⟩
=
2
⟨
x
,
x
⟩
+
2
⟨
y
,
y
⟩
=
2
‖
x
‖
2
+
2
‖
y
‖
2
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\|x+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}&=\langle x+y,x+y\rangle +\langle x-y,x-y\rangle \\&=\langle x,x\rangle +\langle x,y\rangle +\langle y,x\rangle +\langle y,y\rangle +\langle x,x\rangle -\langle x,y\rangle -\langle y,x\rangle +\langle y,y\rangle \\&=2\langle x,x\rangle +2\langle y,y\rangle \\&=2\|x\|^{2}+2\|y\|^{2}.\end{aligned}}}
Demnach gilt die Parallelogrammgleichung.
Teil 2: Norm, die Parallelogrammgleichung erfüllt, lässt sich durch Skalarprodukt erzeugen
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Sei nun
‖
.
‖
{\displaystyle \|.\|}
Funktion
⟨
.
,
.
⟩
:
X
2
→
K
{\displaystyle \langle .,.\rangle :X^{2}\to K}
Vektorraums durch
⟨
x
,
y
⟩
:=
1
4
(
‖
x
+
y
‖
2
−
‖
x
−
y
‖
2
)
{\displaystyle \langle x,y\rangle :={\frac {1}{4}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}\right)}
und im Falle eines komplexen Vektorraums durch
⟨
x
,
y
⟩
:=
1
4
(
‖
x
+
y
‖
2
−
‖
x
−
y
‖
2
)
+
i
4
(
‖
x
+
i
y
‖
2
−
‖
x
−
i
y
‖
2
)
{\displaystyle \langle x,y\rangle :={\frac {1}{4}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}\right)+{\frac {i}{4}}\left(\|x+iy\|^{2}-\|x-iy\|^{2}\right)}
definiert.
Zu zeigen ist erstens, dass
⟨
.
,
.
⟩
{\displaystyle \langle .,.\rangle }
x
,
y
,
z
∈
X
{\displaystyle x,y,z\in X}
λ
∈
K
{\displaystyle \lambda \in K}
positiv definit:
⟨
x
,
x
⟩
≥
0
{\displaystyle \langle x,x\rangle \geq 0}
⟨
x
,
x
⟩
=
0
{\displaystyle \langle x,x\rangle =0}
x
=
0
{\displaystyle x=0}
symmetrisch bzw. hermitesch:
symmetrisch:
⟨
x
,
y
⟩
=
⟨
y
,
x
⟩
{\displaystyle \langle x,y\rangle =\langle y,x\rangle }
hermitesch:
⟨
x
,
y
⟩
=
⟨
y
,
x
⟩
¯
{\displaystyle \langle x,y\rangle ={\overline {\langle y,x\rangle }}}
bilinear im Fall eines reellen bzw. sesquilinear im Fall eines komplexen Vektorraums
⟨
x
+
y
,
z
⟩
=
⟨
x
,
z
⟩
+
⟨
y
,
z
⟩
{\displaystyle \langle x+y,z\rangle =\langle x,z\rangle +\langle y,z\rangle }
⟨
x
,
y
+
z
⟩
=
⟨
x
,
y
⟩
+
⟨
x
,
z
⟩
{\displaystyle \langle x,y+z\rangle =\langle x,y\rangle +\langle x,z\rangle }
λ
⟨
x
,
y
⟩
=
⟨
λ
x
,
y
⟩
=
⟨
x
,
λ
y
⟩
{\displaystyle \lambda \langle x,y\rangle =\langle \lambda x,y\rangle =\langle x,\lambda y\rangle }
λ
⟨
x
,
y
⟩
=
⟨
λ
x
,
y
⟩
=
⟨
x
,
λ
¯
y
⟩
{\displaystyle \lambda \langle x,y\rangle =\langle \lambda x,y\rangle =\langle x,{\bar {\lambda }}y\rangle }
Für die Bilinearität bzw. Sesquilinearität reicht es, das erste Argument zu betrachten, also zu zeigen, dass die betrachtete Funktion im ersten Arguments additiv und homogen ist, dass also
⟨
x
+
y
,
z
⟩
=
⟨
x
,
z
⟩
+
⟨
y
,
z
⟩
{\displaystyle \langle x+y,z\rangle =\langle x,z\rangle +\langle y,z\rangle }
λ
⟨
x
,
y
⟩
=
⟨
λ
x
,
y
⟩
{\displaystyle \lambda \langle x,y\rangle =\langle \lambda x,y\rangle }
gelten, die Eigenschaften für das zweite Argument folgen dann unmittelbar aus symmetrisch bzw. hermitesch.
Wegen der Eigenschaften der Norm gilt für den Realteil
ℜ
⟨
x
,
x
⟩
=
1
4
(
‖
x
+
x
‖
2
−
‖
x
−
x
‖
2
)
=
‖
x
‖
2
{\displaystyle \Re \langle x,x\rangle ={\frac {1}{4}}\left(\|x+x\|^{2}-\|x-x\|^{2}\right)=\|x\|^{2}}
und für den Imaginärteil (der im Fall
K
=
R
{\displaystyle K=\mathbb {R} }
ℑ
⟨
x
,
x
⟩
=
1
4
(
‖
x
+
i
x
‖
2
−
‖
x
−
i
x
‖
2
)
=
1
4
(
|
1
+
i
|
2
‖
x
‖
2
−
|
1
−
i
|
2
‖
x
‖
2
)
=
0
{\displaystyle \Im \langle x,x\rangle ={\frac {1}{4}}\left(\|x+ix\|^{2}-\|x-ix\|^{2}\right)={\frac {1}{4}}\left(|1+i|^{2}\|x\|^{2}-|1-i|^{2}\|x\|^{2}\right)=0}
weil
|
1
+
i
|
=
|
1
−
i
|
{\displaystyle |1+i|=|1-i|\!}
Somit gilt in jedem Fall
⟨
x
,
x
⟩
=
‖
x
‖
2
{\displaystyle \langle x,x\rangle =\|x\|^{2}}
Die Positiv-Definitheit folgt damit unmittelbar aus den Eigenschaften der Norm; zusätzlich folgt, dass die Norm durch dieses Skalarprodukt erzeugt wird (sofern tatsächlich ein Skalarprodukt vorliegt).
symmetrisch bzw. hermitesch
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Es gilt
ℜ
⟨
x
,
y
⟩
=
1
4
(
‖
x
+
y
‖
2
−
‖
x
−
y
‖
2
)
=
1
4
(
‖
y
+
x
‖
2
−
‖
y
−
x
‖
2
)
=
ℜ
⟨
y
,
x
⟩
{\displaystyle \Re \langle x,y\rangle ={\frac {1}{4}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}\right)={\frac {1}{4}}\left(\|y+x\|^{2}-\|y-x\|^{2}\right)=\Re \langle y,x\rangle }
Wegen
‖
z
‖
=
‖
i
z
‖
=
‖
−
i
z
‖
{\displaystyle \|z\|=\|iz\|=\|-iz\|}
ℑ
⟨
x
,
y
⟩
=
i
4
(
‖
x
+
i
y
‖
2
−
‖
x
−
i
y
‖
2
)
=
i
4
(
‖
−
i
x
+
y
‖
2
−
‖
i
x
+
y
‖
2
)
=
−
ℑ
⟨
y
,
x
⟩
{\displaystyle \Im \langle x,y\rangle ={\frac {i}{4}}\left(\|x+iy\|^{2}-\|x-iy\|^{2}\right)={\frac {i}{4}}\left(\|-ix+y\|^{2}-\|ix+y\|^{2}\right)=-\Im \langle y,x\rangle }
das betrachtete Skalarprodukt ist also tatsächlich symmetrisch im reellen und hermitesch im komplexen Fall.
additiv im ersten Argument
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Der Beweis der Additivität ist komplizierter. Dazu wird zuerst gezeigt, dass für alle
u
,
v
,
w
∈
X
{\displaystyle u,v,w\in X}
⟨
u
+
w
,
v
⟩
+
⟨
u
−
w
,
v
⟩
=
2
⟨
u
,
v
⟩
{\displaystyle \langle u+w,v\rangle +\langle u-w,v\rangle =2\langle u,v\rangle }
gilt. Diese Beziehung wird zunächst für den Realteil gezeigt:
ℜ
⟨
u
+
w
,
v
⟩
+
ℜ
⟨
u
−
w
,
v
⟩
=
1
4
(
‖
u
+
v
+
w
‖
2
−
‖
u
−
v
+
w
‖
2
+
‖
u
+
v
−
w
‖
2
−
‖
u
−
v
−
w
‖
2
)
{\displaystyle \Re \langle u+w,v\rangle +\Re \langle u-w,v\rangle ={\frac {1}{4}}\left(\|u+v+w\|^{2}-\|u-v+w\|^{2}+\|u+v-w\|^{2}-\|u-v-w\|^{2}\right)}
=
1
4
(
‖
u
+
v
+
w
‖
2
+
‖
u
+
v
−
w
‖
2
)
−
1
4
(
‖
u
−
v
+
w
‖
2
+
‖
u
−
v
−
w
‖
2
)
{\displaystyle ={\frac {1}{4}}\left(\|u+v+w\|^{2}+\|u+v-w\|^{2}\right)-{\frac {1}{4}}\left(\|u-v+w\|^{2}+\|u-v-w\|^{2}\right)}
(nun wird die Parallelogrammgleichung angewendet)
=
1
2
(
‖
u
+
v
‖
2
+
‖
w
‖
2
)
−
1
2
(
‖
u
−
v
‖
2
+
‖
w
‖
2
)
{\displaystyle ={\frac {1}{2}}\left(\|u+v\|^{2}+\|w\|^{2}\right)-{\frac {1}{2}}\left(\|u-v\|^{2}+\|w\|^{2}\right)}
=
1
2
(
‖
u
+
v
‖
2
−
‖
u
−
v
‖
2
)
=
2
ℜ
⟨
u
,
v
⟩
{\displaystyle ={\frac {1}{2}}\left(\|u+v\|^{2}-\|u-v\|^{2}\right)=2\Re \langle u,v\rangle }
Im reellen Fall ist damit die Beziehung gezeigt; im komplexen Fall ist auf analoge Weise diese Beziehung für den Imaginärteil zu zeigen:
ℑ
⟨
u
+
w
,
v
⟩
+
ℑ
⟨
u
−
w
,
v
⟩
=
1
4
(
‖
u
+
i
v
+
w
‖
2
−
‖
u
−
i
v
+
w
‖
2
+
‖
u
+
i
v
−
w
‖
2
−
‖
u
−
i
v
−
w
‖
2
)
{\displaystyle \Im \langle u+w,v\rangle +\Im \langle u-w,v\rangle ={\frac {1}{4}}\left(\|u+iv+w\|^{2}-\|u-iv+w\|^{2}+\|u+iv-w\|^{2}-\|u-iv-w\|^{2}\right)}
=
1
4
(
‖
u
+
i
v
+
w
‖
2
+
‖
u
+
i
v
−
w
‖
2
)
−
1
4
(
‖
u
−
i
v
+
w
‖
2
+
‖
u
−
i
v
−
w
‖
2
)
{\displaystyle ={\frac {1}{4}}\left(\|u+iv+w\|^{2}+\|u+iv-w\|^{2}\right)-{\frac {1}{4}}\left(\|u-iv+w\|^{2}+\|u-iv-w\|^{2}\right)}
(nun wird die Parallelogrammgleichung angewendet)
=
1
2
(
‖
u
+
i
v
‖
2
+
‖
w
‖
2
)
−
1
2
(
‖
u
−
i
v
‖
2
+
‖
w
‖
2
)
{\displaystyle ={\frac {1}{2}}\left(\|u+iv\|^{2}+\|w\|^{2}\right)-{\frac {1}{2}}\left(\|u-iv\|^{2}+\|w\|^{2}\right)}
=
1
2
(
‖
u
+
i
v
‖
2
−
‖
u
−
i
v
‖
2
)
=
2
ℑ
⟨
u
,
v
⟩
{\displaystyle ={\frac {1}{2}}\left(\|u+iv\|^{2}-\|u-iv\|^{2}\right)=2\Im \langle u,v\rangle }
Setzt man
w
=
u
{\displaystyle w=u\!}
⟨
0
,
v
⟩
=
0
{\displaystyle \langle 0,v\rangle =0}
⟨
2
u
,
v
⟩
=
2
⟨
u
,
v
⟩
{\displaystyle \langle 2u,v\rangle =2\langle u,v\rangle }
Daraus und mit
x
:=
u
+
w
{\displaystyle x:=u+w\!}
y
:=
u
−
w
{\displaystyle y:=u-w\!}
z
:=
v
{\displaystyle z:=v\!}
⟨
x
,
z
⟩
+
⟨
y
,
z
⟩
=
⟨
u
+
w
,
v
⟩
+
⟨
u
−
w
,
v
⟩
=
2
⟨
u
,
v
⟩
=
⟨
2
u
,
v
⟩
=
⟨
x
+
y
,
z
⟩
{\displaystyle \langle x,z\rangle +\langle y,z\rangle =\langle u+w,v\rangle +\langle u-w,v\rangle =2\langle u,v\rangle =\langle 2u,v\rangle =\langle x+y,z\rangle }
Somit ist die Additivität gezeigt.
homogen im ersten Argument
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Die Homogenität im ersten Argument wird schrittweise für
λ
{\displaystyle \lambda \!}
natürlich , ganzzahlig , rational , reell und komplex gezeigt.
Der Fall
λ
{\displaystyle \lambda }
vollständiger Induktion gezeigt. Als Induktionsanfang wurde bereits
⟨
λ
x
,
y
⟩
=
λ
⟨
x
,
y
⟩
{\displaystyle \langle \lambda x,y\rangle =\lambda \langle x,y\rangle }
λ
=
0
,
1
{\displaystyle \lambda =0,1\!}
⟨
λ
x
,
y
⟩
=
λ
⟨
x
,
y
⟩
{\displaystyle \langle \lambda x,y\rangle =\lambda \langle x,y\rangle }
λ
=
n
{\displaystyle \lambda =n\!}
λ
=
n
+
1
{\displaystyle \lambda =n+1\!}
⟨
(
n
+
1
)
x
,
y
⟩
=
⟨
n
x
+
x
,
y
⟩
{\displaystyle \langle (n+1)x,y\rangle =\langle nx+x,y\rangle }
=
⟨
n
x
,
y
⟩
+
⟨
x
,
y
⟩
{\displaystyle =\langle nx,y\rangle +\langle x,y\rangle }
=
n
⟨
x
,
y
⟩
+
⟨
x
,
y
⟩
=
(
n
+
1
)
⟨
x
,
y
⟩
{\displaystyle =n\langle x,y\rangle +\langle x,y\rangle =(n+1)\langle x,y\rangle }
Sei nun
λ
{\displaystyle \lambda }
λ
⟨
x
,
y
⟩
−
⟨
λ
x
,
y
⟩
=
λ
⟨
x
,
y
⟩
−
⟨
|
λ
|
(
−
x
)
,
y
⟩
{\displaystyle \lambda \langle x,y\rangle -\langle \lambda x,y\rangle =\lambda \langle x,y\rangle -\langle |\lambda |(-x),y\rangle }
=
λ
⟨
x
,
y
⟩
−
|
λ
|
⟨
−
x
,
y
⟩
{\displaystyle =\lambda \langle x,y\rangle -|\lambda |\langle -x,y\rangle }
=
λ
⟨
x
,
y
⟩
+
λ
⟨
−
x
,
y
⟩
{\displaystyle =\lambda \langle x,y\rangle +\lambda \langle -x,y\rangle }
=
λ
⟨
x
−
x
,
y
⟩
=
0
{\displaystyle =\lambda \langle x-x,y\rangle =0}
Ist
λ
=
m
n
{\displaystyle \lambda ={\frac {m}{n}}}
m
,
n
{\displaystyle m,n\!}
n
⟨
m
n
x
,
y
⟩
=
⟨
n
m
n
x
,
y
⟩
=
⟨
m
x
,
y
⟩
=
m
⟨
x
,
y
⟩
{\displaystyle n\langle {\frac {m}{n}}x,y\rangle =\langle n{\frac {m}{n}}x,y\rangle =\langle mx,y\rangle =m\langle x,y\rangle }
⟨
m
n
x
,
y
⟩
=
m
n
⟨
x
,
y
⟩
{\displaystyle \langle {\frac {m}{n}}x,y\rangle ={\frac {m}{n}}\langle x,y\rangle }
Sei nun
λ
=
lim
n
→
∞
λ
n
{\displaystyle \lambda =\lim _{n\to \infty }\lambda _{n}}
Grenzwert rationaler Zahlen dargestellt. Da die Norm ein stetiges Funktional ist, ist auch
⟨
.
,
.
⟩
{\displaystyle \langle .,.\rangle }
⟨
λ
x
,
y
⟩
=
⟨
lim
n
→
∞
λ
n
x
,
y
⟩
=
lim
n
→
∞
⟨
λ
n
x
,
y
⟩
=
lim
n
→
∞
λ
n
⟨
x
,
y
⟩
=
λ
⟨
x
,
y
⟩
{\displaystyle \langle \lambda x,y\rangle =\langle \lim _{n\to \infty }\lambda _{n}x,y\rangle =\lim _{n\to \infty }\langle \lambda _{n}x,y\rangle =\lim _{n\to \infty }\lambda _{n}\langle x,y\rangle =\lambda \langle x,y\rangle }
Für einen reellen Vektorraum ist der Beweis der Homogenität hier beendet; für einen komplexen Vektorraum muss noch der Fall
λ
{\displaystyle \lambda \!}
λ
:=
i
{\displaystyle \lambda :=i\!}
‖
z
‖
=
‖
i
z
‖
=
‖
−
i
z
‖
{\displaystyle \|z\|=\|iz\|=\|-iz\|}
⟨
i
x
,
y
⟩
=
1
4
(
‖
i
x
+
y
‖
2
−
‖
i
x
−
y
‖
2
)
+
i
4
(
‖
i
x
+
i
y
‖
2
−
‖
i
x
−
i
y
‖
2
)
{\displaystyle \langle ix,y\rangle ={\frac {1}{4}}\left(\|ix+y\|^{2}-\|ix-y\|^{2}\right)+{\frac {i}{4}}\left(\|ix+iy\|^{2}-\|ix-iy\|^{2}\right)}
=
1
⋅
i
4
⋅
i
(
‖
x
−
i
y
‖
2
−
‖
x
+
i
y
‖
2
)
+
i
4
(
‖
x
+
y
‖
2
−
‖
x
−
y
‖
2
)
{\displaystyle ={\frac {1\cdot i}{4\cdot i}}\left(\|x-iy\|^{2}-\|x+iy\|^{2}\right)+{\frac {i}{4}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}\right)}
=
i
(
1
4
i
(
‖
x
−
i
y
‖
2
−
‖
x
+
i
y
‖
2
)
+
1
4
(
‖
x
+
y
‖
2
−
‖
x
−
y
‖
2
)
)
{\displaystyle =i\left({\frac {1}{4i}}\left(\|x-iy\|^{2}-\|x+iy\|^{2}\right)+{\frac {1}{4}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}\right)\right)}
=
i
(
i
4
(
‖
x
+
i
y
‖
2
−
‖
x
−
i
y
‖
2
)
+
1
4
(
‖
x
+
y
‖
2
−
‖
x
−
y
‖
2
)
)
{\displaystyle =i\left({\frac {i}{4}}\left(\|x+iy\|^{2}-\|x-iy\|^{2}\right)+{\frac {1}{4}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}\right)\right)}
=
i
(
1
4
(
‖
x
+
y
‖
2
−
‖
x
−
y
‖
2
)
+
i
4
(
‖
x
+
i
y
‖
2
−
‖
x
−
i
y
‖
2
)
)
{\displaystyle =i\left({\frac {1}{4}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}\right)+{\frac {i}{4}}\left(\|x+iy\|^{2}-\|x-iy\|^{2}\right)\right)}
=
i
⟨
x
,
y
⟩
{\displaystyle =i\langle x,y\rangle }
Für
λ
=
μ
+
i
ν
{\displaystyle \lambda =\mu +i\nu \!}
⟨
λ
x
,
y
⟩
=
⟨
μ
x
+
i
ν
x
,
y
⟩
=
⟨
μ
x
,
y
⟩
+
⟨
i
ν
x
,
y
⟩
=
⟨
μ
x
,
y
⟩
+
i
⟨
ν
x
,
y
⟩
=
μ
⟨
x
,
y
⟩
+
i
ν
⟨
x
,
y
⟩
=
λ
⟨
x
,
y
⟩
{\displaystyle \langle \lambda x,y\rangle =\langle \mu x+i\nu x,y\rangle =\langle \mu x,y\rangle +\langle i\nu x,y\rangle =\langle \mu x,y\rangle +i\langle \nu x,y\rangle =\mu \langle x,y\rangle +i\nu \langle x,y\rangle =\lambda \langle x,y\rangle }
Somit ist die Homogenität auch für komplexe Vektorräume bewiesen.
Beweis der Behauptung 2
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Für die Behauptung 2 ist lediglich zu zeigen, dass der normierte Raum
(
X
,
‖
.
‖
)
{\displaystyle (X,\|.\|)}
vollständig ist, wenn der entsprechende Prähilbertraum
(
X
,
⟨
.
,
.
⟩
)
{\displaystyle (X,\langle .,.\rangle )}
Metrik haben.
