Beweisarchiv: Topologie: Top hat Limites

Beweisarchiv: Topologie

Grundlagen: Stetige Bijektion von kompakt nach Hausdorff · Top hat Limites · Produkt von Hausdorffräumen · Limes von Hausdorffräumen · Limes von kompakten Hausdorffräumen

Satz von Tychonoff · Über den weierstraßschen Satz vom Maximum und Minimum · Kompaktheit und Zusammenhang reeller Intervalle · Analogon zum Satz von Baire für endlich viele abgeschlossene Teilmengen · Der Satz von Poincaré-Bohl impliziert den Satz von Poincaré-Brouwer.

Wir zeigen, dass die Kategorie topologischer Räume $\mathrm {Top}$ mit stetigen Abbildungen (kleine) Limites besitzt und wie diese konstruiert werden.

Satz

Sei ${\mathcal {I}}$ eine kleine Kategorie und

$X:{\mathcal {I}}\to \mathrm {Top} ,\quad i\mapsto X_{i}$

ein Diagramm topologischer Räume über ${\mathcal {I}}$, so existiert der Limes des Diagramms in der Kategorie topologischer Räume.

Beweis

Wir konstruieren den Limes direkt. Sei

$L:=\left\{(a_{i})_{i\in I}\in \prod _{i\in {\mathcal {I}}}X_{i}\mid \forall i,j\in {\mathcal {I}}:\forall f\in \mathrm {Hom} _{\mathcal {I}}(i,j):X(f)(a_{i})=a_{j}\right\}\subset \prod _{i\in {\mathcal {I}}}X_{i}$

mit der Teilraumtopologie der Produkttopologie auf $\prod \nolimits _{i\in {\mathcal {I}}}X_{i}$ ausgestattet. Wir definieren die Projektionen durch

$\pi _{j}:L\to X_{j},\quad (a_{i})_{i\in I}\mapsto a_{j}$

Die Projektionen sind stetig: Ist $U\subset X_{j}$ eine offene Teilmenge, so ist $\mathrm {pr} _{j}^{-1}(U)\subset \prod \nolimits _{i\in {\mathcal {I}}}X_{i}$ basisoffen, wobei $\mathrm {pr} _{j}:\prod \nolimits _{i\in {\mathcal {I}}}X_{i}\to X_{j}$ die kanonische Projektion bezeichnet. Per Definition ist $\pi _{j}^{-1}(U)=\mathrm {pr} _{j}^{-1}(U)\cap L$ und damit offen in $L$.

Wir verifizieren die universelle Eigenschaft. Sei $T$ ein beliebiger topologischer Raum und $g_{i}:T\to X_{i}$ eine Familie stetiger Abbildungen, sodass $X(f)\circ g_{i}=g_{j}$ für alle $i,j\in {\mathcal {I}}$ und alle $f\in \mathrm {Hom} _{\mathcal {I}}(i,j)$ gilt. Dann existiert genau eine Abbildung $g:T\to L$ mit $\pi _{i}\circ g=g_{i}$ für alle $i\in {\mathcal {I}}$, nämlich

$g:T\to L,\quad t\mapsto (g_{i}(t))_{i\in {\mathcal {I}}}$

Diese ist stetig: Es genügt, das auf basisoffenen Mengen in $L$ nachzurechnen. Sei also $U\subset L$ offen von der Form $\prod \nolimits _{i\in {\mathcal {I}}}U_{i}$ wobei $U_{i}\subset X_{i}$ offen ist und für alle außer endlich viele $i\in {\mathcal {I}}$ die Gleichheit $U_{i}=X_{i}$ gilt. Es gilt

$g^{-1}(U)=\bigcap _{i\in {\mathcal {I}}}g_{i}^{-1}(U_{i})$

Dieser Durchschnitt ist endlich und da die $g_{i}$ stetig ist, ist die rechte Seite offen. Also ist $g^{-1}(U)$ offen, was zu zeigen war.

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