Beweisarchiv: Topologie: Top hat Limites

Beweisarchiv: Topologie

Grundlagen: Stetige Bijektion von kompakt nach Hausdorff · Top hat Limites · Produkt von Hausdorffräumen · Limes von Hausdorffräumen · Limes von kompakten Hausdorffräumen
Satz von Tychonoff · Über den weierstraßschen Satz vom Maximum und Minimum · Kompaktheit und Zusammenhang reeller Intervalle · Analogon zum Satz von Baire für endlich viele abgeschlossene Teilmengen · Der Satz von Poincaré-Bohl impliziert den Satz von Poincaré-Brouwer.


Wir zeigen, dass die Kategorie topologischer Räume mit stetigen Abbildungen (kleine) Limites besitzt und wie diese konstruiert werden.

Satz Bearbeiten

Sei   eine kleine Kategorie und

 

ein Diagramm topologischer Räume über  , so existiert der Limes des Diagramms in der Kategorie topologischer Räume.

Beweis Bearbeiten

Wir konstruieren den Limes direkt. Sei

 

mit der Teilraumtopologie der Produkttopologie auf   ausgestattet. Wir definieren die Projektionen durch

 

Die Projektionen sind stetig: Ist   eine offene Teilmenge, so ist   basisoffen, wobei   die kanonische Projektion bezeichnet. Per Definition ist   und damit offen in  .

Wir verifizieren die universelle Eigenschaft. Sei   ein beliebiger topologischer Raum und   eine Familie stetiger Abbildungen, sodass   für alle   und alle   gilt. Dann existiert genau eine Abbildung   mit   für alle  , nämlich

 

Diese ist stetig: Es genügt, das auf basisoffenen Mengen in   nachzurechnen. Sei also   offen von der Form   wobei   offen ist und für alle außer endlich viele   die Gleichheit   gilt. Es gilt

 

Dieser Durchschnitt ist endlich und da die   stetig ist, ist die rechte Seite offen. Also ist   offen, was zu zeigen war.