Beweisarchiv: Topologie: Stetige Bijektion von kompakt nach Hausdorff

Beweisarchiv: Topologie

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Satz von Tychonoff · Über den weierstraßschen Satz vom Maximum und Minimum · Kompaktheit und Zusammenhang reeller Intervalle · Analogon zum Satz von Baire für endlich viele abgeschlossene Teilmengen · Der Satz von Poincaré-Bohl impliziert den Satz von Poincaré-Brouwer.

Wir zeigen, dass eine stetige Bijektion von einem kompakten Raum in einen Hausdorff-Raum ein Homöomorphismus ist. Diese Aussage ist ein grundlegendes technisches Hilfsmittel in der mengentheoretischen Topologie, um festzustellen, dass zwei gegebene topologische Räume homöomorph sind.

Lemma 1

Sei $X$ ein kompakter topologischer Raum und $A\subset X$ eine abgeschlossene Teilmenge. Dann ist $A$ mit der Teilraumtopologie ein kompakter topologischer Raum.

Beweis

Da $A$ mit der Teilraumtopologie ausgestattet ist, können wir wieder eine offene Überdeckung $(U_{i})_{i\in I}$ von $A$ durch offene Teilmengen von $X$ heranziehen. Die Menge $X\setminus A$ ist selbst offen und überdeckt gemeinsam mit $(U_{i})_{i\in I}$ ganz $X$. Es folgt, dass eine endliche Teilmenge $I_{0}\subset I$ der Indexmenge existiert, sodass $(U_{i})_{i\in I_{0}}$ zusammen mit $X\setminus A$ eine Überdeckung von $X$ ist. Da aber $X\setminus A$ disjunkt zu $A$ ist, ist $(U_{i})_{i\in I_{0}}$ eine Überdeckung von $A$, was zu zeigen war.

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Lemma 2

Sei $X$ ein kompakter topologischer Raum und $f:X\to Y$ eine stetige Abbildung in einen weiteren topologischen Raum $Y$. Dann ist das Bild $f(X)$ kompakt.

Beweis

Zu zeigen ist, dass jede offene Überdeckung von $f(X)$ eine endliche Teilüberdeckung besitzt. Wir können dazu eine Überdeckung $(U_{i})_{i\in I}$ durch offene Teilmengen von $Y$ heranziehen. Es folgt, dass $(f^{-1}(U_{i}))_{i\in I}$ eine Überdeckung von $X$ durch offene Teilmengen ist. Da $X$ kompakt ist, existiert eine endliche Teilmenge $I_{0}\subset I$ der Indexmenge, sodass $(f^{-1}(U_{i}))_{i\in I_{0}}$ noch immer eine Überdeckung von $X$ ist. Für jeden Punkt $x\in X$ existiert also ein $i\in I_{0}$, sodass $f(x)\in U_{i}$ ist. Das heißt aber gerade, dass $(U_{i})_{i\in I_{0}}$ eine endliche Überdeckung von $f(X)$ ist, was zu zeigen war.

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Lemma 3

Sei $Y$ ein Hausdorff-Raum und sei $K\subset Y$ eine kompakte Teilmenge. Dann ist $K$ abgeschlossen in $Y$.

Beweis

Wir zeigen, dass $Y\setminus K$ offen ist. Sei $y\in Y\setminus K$. Da $Y$ Hausdorff ist existieren für jeden Punkt $k\in K$ offene Umgebungen $U_{k}$ von $k$ und $V_{k}$ von $y$, sodass $U_{k}\cap V_{k}=\emptyset$. Die Familie $(U_{k})_{k\in K}$ ist eine offene Überdeckung von $K$ und besitzt wegen Kompaktheit eine endliche Teilüberdeckung $(U_{k})_{k\in K_{0}}$. Der Durchschnitt $V:=\bigcap \nolimits _{k\in K_{0}}V_{k}$ ist eine offene Umgebung von $y\in Y$ und disjunkt zu $K$. Es folgt, dass jeder Punkt in $Y\setminus K$ eine offene Umgebung besitzt, die vollständig in $Y\setminus K$ enthalten ist. Also ist $Y\setminus K$ offen.

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Satz

Seien $X$ ein kompakter topologischer Raum und sei $Y$ ein Hausdorff-Raum. Sei $f:X\to Y$ eine stetige bijektive Abbildung. Dann ist die Umkehrabbildung von $f$ stetig, insbesondere ist $f$ ein Homöomorphismus.

Beweis

Sei $U\subset X$ eine offene Teilmenge. Dann ist $X\setminus U$ eine abgeschlossene Teilmenge. Da $X$ kompakt ist, folgt nach Lemma 1, dass $X\setminus U$ kompakt ist. Nach Lemma 2 folgt, dass $f(X\setminus U)$ kompakt ist. Nach Lemma 3 ist $f(X\setminus U)$ abgeschlossen. Da $f$ bijektiv ist, ist $f(X\setminus U)=f(X)\setminus f(U)$. Es folgt, dass $f(U)$ offen ist und damit letztendlich, dass $f^{-1}$ stetig ist.

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