Beweisarchiv: Topologie: Kompaktheit und Zusammenhang reeller Intervalle

Beweisarchiv: Topologie

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In Topologie und reeller Analysis ist die Tatsache, dass abgeschlossene reelle Intervalle die Eigenschaften der Kompaktheit und des Zusammenhangs haben, von weitreichender Konsequenz. Im Folgenden wird durch einen einfachen Beweis gezeigt, dass hier Kompaktheit schon direkt Zusammenhang impliziert. Es gilt auch das Umgekehrte und mehr noch, dass beide Eigenschaften Ausdruck der Vollständigkeit des Körpers der reellen Zahlen sind.

Proposition: Kompaktheit impliziert Zusammenhang.Bearbeiten

Im Einzelnen gilt:

Aus der Tatsche, dass ein Intervalls   in der von   induzierten Unterraumtopologie ein kompakter Raum ist, folgt, dass   auch ein zusammenhängender Raum ist.

BeweisBearbeiten

Angenommen es gebe nichtleere , in   offene Teilmengen     und       , welche das Intervall disjunkt zerlegen, also offene Teilmengen   mit   und   .

Beide Teilmengen sind dann auch abgeschlossen in   und damit kompakt. Folglich ist   ebenfalls kompakt und nichtleer.

Nun ist die auf   eingeschränkte Abstandsfunktion

 

stetig auf  .

Nach dem weierstraßschen Satz vom Maximum und Minimum muss sie dann auch ihr absolutes Minimum   annehmen, und zwar in zwei Elementen   und   , welche

 

erfüllen.

Dabei muss wegen der Disjunktheit der beiden Teilmengen     und         und damit   gelten.

Nun ist der Mittelpunkt   des nichtleeren Teilintervalls   notwendig in einer der beiden Teilmengen     bzw.       enthalten.

Andererseits gilt aber auch     ,

was aber in jedem Falle die Minimalität von   verletzt.

Folglich liegt ein Widerspruch vor, womit gezeigt ist, dass es eine disjunkte Zerlegung von   in nichtleere offene Teilmengen     und       nicht geben kann.

Das aber bedeutet, dass   in der von   induzierten Unterraumtopologie ein zusammenhängender Raum ist.

HintergrundliteraturBearbeiten

  • Horst Schubert: Topologie. Eine Einführung. 4. Auflage. B. G. Teubner Verlag, Stuttgart 1975, ISBN 3-519-12200-6. MR0423277
  • Lutz Führer: Allgemeine Topologie mit Anwendungen. Vieweg Verlag, Braunschweig 1977, ISBN 3-528-03059-3.