Beweisarchiv: Topologie: Über den weierstraßschen Satz vom Maximum und Minimum

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Über den weierstraßschen Satz vom Maximum und Minimum

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Dieser klassische Satz für stetige reellwertige Funktionen auf Kompakta wird in Topologie und Analysis auf die Tatsache zurückgeführt - vgl. etwa Schubert, S. 62, und Forster, S. 32 - dass das stetige Bild eines Kompaktums stets eine kompakte Teilmenge der reellen Zahlen und damit immer abgeschlossen und beschränkt innerhalb   ist und dass damit die Bildmenge einer stetigen reellwertigen Funktion zwingend ihr Supremum und genauso ihr Infimum enthalten muss.

Diese Argumentation stellt die Hausdorffeigenschaft, also die Separiertheit von   in Rechnung, denn aus dieser folgt, dass kompakte Teilmengen von   notwendig abgeschlossen sind.

Der weierstraßschen Satz lässt sich jedoch unabhängig von allen Separiertheitsbetrachtungen mit Hilfe eines einfachen Widerspruchsbeweises beweisen, wobei sich zeigt, dass dabei die Hausdorffeigenschaft von   ohne Belang ist und dass auch die meisten der anderen charakteristischen Eigenschaften von   (wie etwa die Vollständigkeit) zum Beweis nicht benötigt werden.

Vielmehr zeigt es sich, dass der weierstraßschen Satz aus ordnungstheoretischen und logischen Gründen gilt, nämlich im Wesentlichen aufgrund der Tatsache, dass in einer endlichen teilweise geordneten Menge stets ein maximales und ein minimales Element existiert. Damit ergibt sich nämlich die folgende allgemeine Proposition über Maximalstellen, welche sogar allgemeiner oberhalbstetige Abbildung einbezieht.

Proposition über Maximalstellen

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Sie lässt sich formulieren wie folgt:

Gegeben seien nichtleere topologische Räume   und   mit Topologien   bzw.  .
  sei quasikompakt.
Zudem sei   eine strikt geordnete Menge und die Ordnungsrelation   sei mit der Topologie   verträglich - in dem Sinne, dass alle Ordnungsideale der Gestalt       offen in   sein sollen.[A 1]
Weiter sei   eine oberhalbstetige Abbildung.
Dann gilt:
(B) Die Bildmenge   hat in der Relativordnung   stets ein maximales Element.

Duale Proposition über Minimalstellen

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In dualer Weise gilt:

Gegeben seien nichtleere topologische Räume   und   mit Topologien   bzw.  .
  sei quasikompakt.
Zudem sei   eine strikt geordnete Menge und die Ordnungsrelation   sei mit der Topologie   im dualen Sinne verträglich, also so , dass alle Ordnungsfilter der Gestalt       offen in   sein sollen.
Weiter sei   eine unterhalbstetige Abbildung.
Dann gilt:
(B) Die Bildmenge   hat in der Relativordnung   stets ein minimales Element.

Beweis der Propositionen

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Es ist aus Dualitätsgründen ausreichend, von den beiden Propositionen die erstere für den Fall der Maximalstellen von oberhalbstetigen Abbildungen zu beweisen.

Dazu wird die folgendes Annahme (A) zum Widerspruch geführt:

(A) Die Bildmenge   hat bezüglich   kein maximales Element .

Aus (A) ergibt sich dann die folgende Identität :

(I)     .

Denn (A) ist gleichbedeutend damit, dass für ein beliebiges   stets ein   derart existiert, dass   erfüllt ist und damit auch   und schließlich     .

Nun ist weiter zu berücksichtigen, dass die vorausgesetzte Oberhalbstetigkeit von   bedeutet, dass die Mengen in der Vereinigungsmenge auf der rechten Seite von (I) durchweg offen in   sind.

In Verbindung mit der Quasikompaktheit von   ergibt sich dann mit der Borel-Lebesgueschen Überdeckungseigenschaft, dass sogar schon für eine nichtleere endliche Teilmenge  

(II)  

gültig ist.

Da nun   eine endliche geordnete Menge und ebenfalls nichtleer ist, muss darin ein maximales Element, etwa

  für ein  

existieren.

Wegen (II) gibt es jedoch ein   mit

   .

Das aber bedeutet

 

und daher

   .

Letztere Ungleichung ist jedoch mit der Maximalität von   in   unvereinbar.

Folglich kann (A) nicht gelten und statt dessen muss (B) wahr sein.

Korollar: Der Satz vom Maximum und Minimum

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Dieser Satz folgt aus den obigen Propositionen aufgrund dessen, dass einerseits eine stetige reelle Funktion immer gleichzeitig oberhalb- und unterhalbstetig ist und dass andererseits   linear geordnet ist.

Es gilt demnach:

Für jeden quasikompakten topologischen Raum  und jede stetige reelle Funktion   werden auf der Bildmenge   in der von den reellen Zahlen induzierten Relativordnung   stets Maximum und Minimum angenommen.

Historie und Gewichtung des Resultats

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Gemäß einem Papier von S. P. Franklin aus dem Jahre 1965 treten die beiden obigen Propositionen auch schon in der 1948er Ausgabe der Lattice Theory des amerikanischen Mathematikers Garrett Birkhoff auf. Franklin spricht hier vom theorem of Birkhoff. Wie Franklin zeigt, können die Aussagen beider Propositionen als charakteristisch für quasikompakte Räume betrachtet werden.

Zum Hintergrund: Ein allgemeiner Satz

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Oben implizit mitbeweisen wurde der folgende allgemeine Satz:

Gegeben seien nichtleere Mengen  ,   und  .
Weiter sei   und zudem sei   eine teilweise geordnete Menge und dazu gegeben sei eine Abbildung  .
Dann gilt:
Hat   die Darstellung
 
so ist   – und damit auch  ! – unendlich.

Folgerung: Ein Kriterium für unendliche Mengen

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Gegeben sei eine nichtleere Menge  .
Dann gilt:
  ist unendlich dann und nur dann, wenn es eine Teilmenge   gibt sowie eine teilweise geordnete Menge   und weiter eine Abbildung   derart, dass   die Darstellung
 
hat.

Beweis des Kriteriums

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Es ist wegen des letzten Satzes nur noch zu zeigen, dass es im Falle, dass   eine unendliche Menge ist, eine Darstellung der genannten Art gibt.

Dazu kann man als gegeben annehmen, dass es in   eine injektive unendliche Folge   gibt.

Nun setzt man

 
und
 
und
  .

Die Abbildung

 

wird definiert wie folgt:

Für   sei
  .

Damit ergibt sich

 

und

 

und

 

und damit

 

und damit die Behauptung.

Hintergrundliteratur

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  • Otto Forster: Analysis 2. 8., aktualisierte Auflage. Vieweg+Teubner, Wiesbaden 2008, ISBN 978-3-8348-9541-7.
  • Bernhard Ganter: Diskrete Mathematik: Geordnete Mengen. Springer Spektrum, Berlin - Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-37499-9.
  • Egbert Harzheim: Ordered Sets. Springer Verlag, New York, NY 2005, ISBN 0-387-24219-8 (MR2127991).
  • Horst Schubert: Topologie. Eine Einführung. 4. Auflage. B. G. Teubner Verlag, Stuttgart 1975, ISBN 3-519-12200-6.
  • S. P. Franklin: Compactness and semi-continuity. In: Israel Journal of Mathematics. 3, 1965, S. 13–14 ([1]).

Anmerkungen

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  1. Hier wird unter eine geordneten Menge stets eine halb- oder teilweise geordnete Menge und nicht notwendig eine Menge mit Totalordnung verstanden. Dabei gewinnt man in der Regel die strikt geordnete Menge   aus der teilweise geordneten Menge   daddurch, dass man für   die Relation   als   versteht.