Beweisarchiv: Topologie: Über den weierstraßschen Satz vom Maximum und Minimum

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Über den weierstraßschen Satz vom Maximum und MinimumBearbeiten

Dieser klassische Satz für stetige reellwertige Funktionen auf Kompakta wird in Topologie und Analysis auf die Tatsache zurückgeführt - vgl. etwa Schubert, S. 62, und Forster, S. 32 - dass das stetige Bild eines Kompaktums stets eine kompakte Teilmenge der reellen Zahlen nach dem Satz von Heine-Borel-Lebesgue immer abgeschlossen und beschränkt innerhalb   ist und dass damit die Bildmenge einer stetigen reellwertigen Funktion zwingend ihr Supremum und genauso ihr Infimum enthalten muss.

Diese Argumentation stellt die Hausdorffeigenschaft, also die Separiertheit von   in Rechnung, denn aus dieser folgt, dass kompakte Teilmengen von   notwendig abgeschlossen sind.

Der weierstraßschen Satz lässt sich jedoch unabhängig von allen Separiertheitsbetrachtungen mit Hilfe eines einfachen Widerspruchsbeweises beweisen, wobei sich zeigt, dass dabei die Hausdorffeigenschaft von   ohne Belang ist und dass auch die meisten der anderen charakteristischen Eigenschaften von   (wie etwa die Vollständigkeit) zum Beweis nicht benötigt werden.

Vielmehr zeigt es sich, dass der weierstraßschen Satz aus ordnungstheoretischen und logischen Gründen gilt, nämlich im Wesentlichen aufgrund der Tatsache, dass in einer endlichen teilweise geordneten Menge stets ein maximales und ein minimales Element existiert. Dies ergibt sich sich mit der folgenden allgemeinen Proposition (Proposition über Maximalstellen), welche sogar allgemeiner oberhalbstetige Abbildung einbezieht.

Proposition über MaximalstellenBearbeiten

Sie lässt sich formulieren wie folgt:

Gegeben seien nichtleere topologische Räume   und   mit Topologien   bzw.  .
  sei quasikompakt.
Zudem sei   eine strikt geordnete Menge und die Ordnungsrelation   sei mit der Topologie   verträglich - in dem Sinne, dass alle Ordnungsideale der Gestalt       offen in   sein sollen.
Weiter sei   eine oberhalbstetige Abbildung.
Dann gilt:
(B) Die Bildmenge   hat in der Relativordnung   stets ein maximales Element.

Duale Proposition über MinimalstellenBearbeiten

In dualer Weise gilt:

Gegeben seien nichtleere topologische Räume   und   mit Topologien   bzw.  .
  sei quasikompakt.
Zudem sei   eine strikt geordnete Menge und die Ordnungsrelation   sei mit der Topologie   im dualen Sinne verträglich, also so , dass alle Ordnungsfilter der Gestalt       offen in   sein sollen.
Weiter sei   eine unterhalbstetige Abbildung.
Dann gilt:
(B) Die Bildmenge   hat in der Relativordnung   stets ein minimales Element.

Beweis der PropositionenBearbeiten

Es ist aus Dualitätsgründen ausreichend, von den beiden Propositionen die erstere für den Fall der Maximalstellen von oberhalbstetigen Abbildungen zu beweisen.

Dazu wird die folgendes Annahme (A) zum Widerspruch geführt:

(A) Die Bildmenge   hat bezüglich   kein maximales Element .

Aus (A) ergibt sich dann die folgende Identität :

(I)     .

Denn (A) ist gleichbedeutend damit, dass für ein beliebiges   stets ein   derart existiert, dass   erfüllt ist und damit auch   und schließlich     .

Nun ist weiter zu berücksichtigen, dass die vorausgesetzte Oberhalbstetigkeit von   bedeutet, dass die Mengen in der Vereinigungsmenge auf der rechten Seite von (I) durchweg offen in   sind.

In Verbindung mit der Quasikompaktheit von   ergibt sich dann mit der Borel-Lebesgueschen Überdeckungseigenschaft, dass sogar schon für eine nichtleere endliche Teilmenge  

(II)  

gültig ist.

Da nun   eine endliche geordnete Menge und ebenfalls nichtleer ist, muss darin ein maximales Element, etwa

  für ein  

existieren.

Wegen (II) gibt es jedoch ein   mit

   .

Das aber bedeutet

 

und daher

   .

Letztere Ungleichung ist jedoch mit der Maximalität von   in   unvereinbar.

Folglich kann (A) nicht gelten und statt dessen muss (B) wahr sein.

Korollar: Der Satz vom Maximum und MinimumBearbeiten

Dieser Satz folgt aus den obigen Propositionen aufgrund dessen, dass einerseits eine stetige reelle Funktion immer gleichzeitig oberhalb- und unterhalbstetig ist und dass andererseits   linear geordnet ist.

Es gilt demnach:

Für jeden quasikompakten topologischen Raum  und jede stetige reelle Funktion   werden auf der Bildmenge   in der von den reellen Zahlen induzierten Relativordnung   stets Maximum und Minimum angenommen.

Historie und Gewichtung des ResultatsBearbeiten

Gemäß einem Papier von S. P. Franklin aus dem Jahre 1965 treten die beiden obigen Propositionen auch schon in der 1948er Ausgabe der Lattice Theory des amerikanischen Mathematikers Garrett Birkhoff auf. Franklin spricht hier vom theorem of Birkhoff. Wie Franklin zeigt, können die Aussagen beider Propositionen als charakteristisch für quasikompakte Räume betrachtet werden.

Zum Hintergrund: Ein allgemeiner SatzBearbeiten

Oben implizit mitbeweisen wurde der folgende allgemeine Satz:

Gegeben seien nichtleere topologische Räume   und   mit Topologien   bzw.  .
Zudem sei   eine strikt geordnete Menge und die Ordnungsrelation   sei mit der Topologie   verträglich.
Weiter sei   eine oberhalbstetige Abbildung.
Dann gilt:
Ist   und hat dabei   die Darstellung
 
so sind die Bildmenge   und damit auch   und   unendliche Mengen.

HintergrundliteraturBearbeiten

  • Otto Forster: Analysis 2. 8., aktualisierte Auflage. Vieweg+Teubner, Wiesbaden 2008, ISBN 978-3-8348-9541-7.
  • Bernhard Ganter: Diskrete Mathematik: Geordnete Mengen. Springer Spektrum, Berlin - Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-37499-9.
  • Egbert Harzheim: Ordered Sets. 7, Springer Verlag, New York, NY 2005, ISBN 0-387-24219-8. MR2127991
  • Horst Schubert: Topologie. Eine Einführung. 4. Auflage. B. G. Teubner Verlag, Stuttgart 1975, ISBN 3-519-12200-6.
  • S. P. Franklin: Compactness and semi-continuity. In: Israel Journal of Mathematics. 3, 1965, S. 13–14 ([1]). MR0184195