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Gegenüberliegende Winkel im Sehnenviereck

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Beweis 1

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Im Sehnenviereck beträgt die Winkelsumme der gegenüberliegenden Winkel  .

Dieses lässt sich wie folgt beweisen:

  Winkelsumme im  

  Umfangswinkel über Sehne   (sind gleich)

  Umfangswinkel über Sehne   (sind gleich)

eingesetzt ergibt sich

 

mit

 

 

Analog gilt für

 

Beweis 2

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Im Sehnenviereck beträgt die Winkelsumme der gegenüberliegenden Winkel  .

 

 

Der Beweis ergibt sich unmittelbar aus dem Kreiswinkelsatz bzw. Mittelpunktswinkel-Umfangswinkel, da zwei gegenüberliegende Winkel des Sehnenvierecks Umfangswinkel über zwei komplementären Kreisbögen sind, deren Mittelpunktswinkel sich zu   ergänzen. Da Umfangswinkel halb so groß sind wie Mittelpunktswinkel über dem gleichen Bogen, müssen sich die Umfangswinkel zu

 

ergänzen.

Beweis 3

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Im Sehnenviereck beträgt die Winkelsumme der gegenüberliegenden Winkel  .

Verbindet man den Mittelpunkt des Umkreises mit den vier Ecken, so wird das gegebene Sehnenviereck in vier gleichschenklige Dreiecke zerlegt. Dabei ist die Länge eines Schenkels jeweils gleich dem Umkreisradius. Jeder Innenwinkel des Vierecks kann als Summe von zwei Teilwinkeln aufgefasst werden (siehe Skizze). Aus dem Satz über die Winkelsumme eines Vierecks ergibt sich

 
 

Weil Basiswinkel in einem gleichschenkligen Dreieck gleich groß sind, gilt

  und  

Durch Einsetzen folgt

 

oder einfacher

 

Dividiert man auf beiden Seiten durch  , so erhält man

 

bzw. (wie behauptet)

 

Aus der Winkelsumme folgt schließlich auch

 

Wikipedia-Verweise

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Sehnenviereck