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Gegenüberliegende Winkel im Sehnenviereck

Beweis 1

Im Sehnenviereck beträgt die Winkelsumme der gegenüberliegenden Winkel $180^{\circ }$.

Dieses lässt sich wie folgt beweisen:

$\,\alpha +\beta _{1}+\delta _{2}=180^{\circ }$ Winkelsumme im $\triangle ABD$

$\,\delta _{2}=\gamma _{1}$ Umfangswinkel über Sehne ${\overline {AB}}$ (sind gleich)

$\,\beta _{1}=\gamma _{2}$ Umfangswinkel über Sehne ${\overline {AD}}$ (sind gleich)

eingesetzt ergibt sich

$\,\alpha +\gamma _{2}+\gamma _{1}=180^{\circ }$

mit

$\,\gamma =\gamma _{1}+\gamma _{2}$

$\,\alpha +\gamma =180^{\circ }$

Analog gilt für

$\,\beta +\delta =180^{\circ }$

Beweis 2

Im Sehnenviereck beträgt die Winkelsumme der gegenüberliegenden Winkel $180^{\circ }$.

$\,\alpha +\gamma =180^{\circ }$

$\,\beta +\delta =180^{\circ }$

Der Beweis ergibt sich unmittelbar aus dem Kreiswinkelsatz bzw. Mittelpunktswinkel-Umfangswinkel, da zwei gegenüberliegende Winkel des Sehnenvierecks Umfangswinkel über zwei komplementären Kreisbögen sind, deren Mittelpunktswinkel sich zu $360^{\circ }$ ergänzen. Da Umfangswinkel halb so groß sind wie Mittelpunktswinkel über dem gleichen Bogen, müssen sich die Umfangswinkel zu

${\frac {360^{\circ }}{2}}=180^{\circ }$

ergänzen.

Beweis 3

Im Sehnenviereck beträgt die Winkelsumme der gegenüberliegenden Winkel $180^{\circ }$.

Verbindet man den Mittelpunkt des Umkreises mit den vier Ecken, so wird das gegebene Sehnenviereck in vier gleichschenklige Dreiecke zerlegt. Dabei ist die Länge eines Schenkels jeweils gleich dem Umkreisradius. Jeder Innenwinkel des Vierecks kann als Summe von zwei Teilwinkeln aufgefasst werden (siehe Skizze). Aus dem Satz über die Winkelsumme eines Vierecks ergibt sich

$\alpha +\beta +\gamma +\delta =360^{\circ },$

$\alpha _{1}+\alpha _{2}+\beta _{1}+\beta _{2}+\gamma _{1}+\gamma _{2}+\delta _{1}+\delta _{2}=360^{\circ }.$

Weil Basiswinkel in einem gleichschenkligen Dreieck gleich groß sind, gilt

$\beta _{1}=\alpha _{2},\quad \beta _{2}=\gamma _{1},\quad \delta _{1}=\gamma _{2}\;$ und $\;\delta _{2}=\alpha _{1}.$

Durch Einsetzen folgt

$\alpha _{1}+\alpha _{2}+\alpha _{2}+\gamma _{1}+\gamma _{1}+\gamma _{2}+\gamma _{2}+\alpha _{1}=360^{\circ }$

oder einfacher

$2\alpha _{1}+2\alpha _{2}+2\gamma _{1}+2\gamma _{2}=360^{\circ }.$

Dividiert man auf beiden Seiten durch $2$, so erhält man

$\alpha _{1}+\alpha _{2}+\gamma _{1}+\gamma _{2}=180^{\circ }$

bzw. (wie behauptet)

$\alpha +\gamma =180^{\circ }.$

Aus der Winkelsumme folgt schließlich auch

$\beta +\delta =360^{\circ }-(\alpha +\gamma )=360^{\circ }-180^{\circ }=180^{\circ }.$

Wikipedia-Verweise

Sehnenviereck