Beweisarchiv: Geometrie: Planimetrie: Kreis: Sehnenviereck

Beweisarchiv: Geometrie

Schwerpunktsätze von Leibniz

Planimetrie

Kreis: Mittelpunktswinkel-Umfangswinkel · Satz des Ptolemäus · Sehnensatz · Sehnentangentenwinkel · Sehnenviereck · Sekantensatz · Tangentenviereck · Japanischer Satz für konzyklische Vierecke · Satz des Thales

Rechtwinkliges Dreieck: Satz des Pythagoras

Ellipse: Satz vom Flüstergewölbe · Konjugierte Durchmesser

Regelmäßige Vielecke: Dreieck · Viereck · Fünfeck · Sechseck ·

Dreieck: Satz des Heron · Berechnung des Flächeninhalts des Diagonalendreiecks im Quader · Elementarer Satz zur Charakterisierung des Schwerpunkts im Dreieck via Flächeninhalte

Viereck: Flächenformel von Bretschneider

Inzidenzgeometrie ·

affine Geometrie: einfache Hilfssätze · Homothetien und Translationen · Desarguesche affine Ebenen sind Vektorräume

Trigonometrie

Additionstheoreme: Sinus · Kosinus · Tangens · Kotangens

Trigonometriesätze: Sinussatz · Kosinussatz · Neue Folgerungen aus dem Projektionssatz der Dreiecksgeometrie

Trigonometrie in der komplexen Ebene: Tangens und Kotangens in rechtwinkligen Dreiecken aus komplexen Zahlen

Gegenüberliegende Winkel im Sehnenviereck

Beweis 1

Im Sehnenviereck beträgt die Winkelsumme der gegenüberliegenden Winkel $180^{\circ }$.

Dieses lässt sich wie folgt beweisen:

$\,\alpha +\beta _{1}+\delta _{2}=180^{\circ }$ Winkelsumme im $\triangle ABD$

$\,\delta _{2}=\gamma _{1}$ Umfangswinkel über Sehne ${\overline {AB}}$ (sind gleich)

$\,\beta _{1}=\gamma _{2}$ Umfangswinkel über Sehne ${\overline {AD}}$ (sind gleich)

eingesetzt ergibt sich

$\,\alpha +\gamma _{2}+\gamma _{1}=180^{\circ }$

mit

$\,\gamma =\gamma _{1}+\gamma _{2}$

$\,\alpha +\gamma =180^{\circ }$

Analog gilt für

$\,\beta +\delta =180^{\circ }$

Beweis 2

Im Sehnenviereck beträgt die Winkelsumme der gegenüberliegenden Winkel $180^{\circ }$.

$\,\alpha +\gamma =180^{\circ }$

$\,\beta +\delta =180^{\circ }$

Der Beweis ergibt sich unmittelbar aus dem Kreiswinkelsatz bzw. Mittelpunktswinkel-Umfangswinkel, da zwei gegenüberliegende Winkel des Sehnenvierecks Umfangswinkel über zwei komplementären Kreisbögen sind, deren Mittelpunktswinkel sich zu $360^{\circ }$ ergänzen. Da Umfangswinkel halb so groß sind wie Mittelpunktswinkel über dem gleichen Bogen, müssen sich die Umfangswinkel zu

${\frac {360^{\circ }}{2}}=180^{\circ }$

ergänzen.

Wikipedia-Verweise

Sehnenviereck