Beweisarchiv: Geometrie: Planimetrie: Kreis: Sehnenviereck

Beweisarchiv: Geometrie

Schwerpunktsätze von Leibniz
Planimetrie
Kreis: Mittelpunktswinkel-Umfangswinkel · Satz des Ptolemäus · Sehnensatz · Sehnentangentenwinkel · Sehnenviereck · Sekantensatz · Tangentenviereck · Japanischer Satz für konzyklische Vierecke · Satz des Thales
Rechtwinkliges Dreieck: Satz des Pythagoras
Ellipse: Satz vom Flüstergewölbe · Konjugierte Durchmesser
Regelmäßige Vielecke: Dreieck · Viereck · Fünfeck · Sechseck ·
Dreieck: Satz des Heron · Berechnung des Flächeninhalts des Diagonalendreiecks im Quader · Elementarer Satz zur Charakterisierung des Schwerpunkts im Dreieck via Flächeninhalte
Viereck: Flächenformel von Bretschneider
Inzidenzgeometrie ·
affine Geometrie: einfache Hilfssätze · Homothetien und Translationen · Desarguesche affine Ebenen sind Vektorräume
Trigonometrie
Additionstheoreme: Sinus · Kosinus · Tangens · Kotangens
Trigonometriesätze: Sinussatz · Kosinussatz · Neue Folgerungen aus dem Projektionssatz der Dreiecksgeometrie
Trigonometrie in der komplexen Ebene: Tangens und Kotangens in rechtwinkligen Dreiecken aus komplexen Zahlen


Gegenüberliegende Winkel im Sehnenviereck

Bearbeiten

Beweis 1

Bearbeiten
 

Im Sehnenviereck beträgt die Winkelsumme der gegenüberliegenden Winkel  .

Dieses lässt sich wie folgt beweisen:

  Winkelsumme im  

  Umfangswinkel über Sehne   (sind gleich)

  Umfangswinkel über Sehne   (sind gleich)

eingesetzt ergibt sich

 

mit

 

 

Analog gilt für

 

Beweis 2

Bearbeiten
 

Im Sehnenviereck beträgt die Winkelsumme der gegenüberliegenden Winkel  .

 

 

Der Beweis ergibt sich unmittelbar aus dem Kreiswinkelsatz bzw. Mittelpunktswinkel-Umfangswinkel, da zwei gegenüberliegende Winkel des Sehnenvierecks Umfangswinkel über zwei komplementären Kreisbögen sind, deren Mittelpunktswinkel sich zu   ergänzen. Da Umfangswinkel halb so groß sind wie Mittelpunktswinkel über dem gleichen Bogen, müssen sich die Umfangswinkel zu

 

ergänzen.

Wikipedia-Verweise

Bearbeiten

Sehnenviereck