Beweisarchiv: Geometrie: Planimetrie: Dreieck: Elementarer Satz zur Charakterisierung des Schwerpunkts im Dreieck via Flächeninhalte

Dieser Satz der Elementargeometrie ist weitgehend bekannt, gehört aber gewissermaßen zur mathematischen Folklore, da er vielfach in den heutigen Lehrbüchern der Elementargeometrie nicht weiter erwähnt wird. Eine Ausnahme bilden die Mathematische Unterhaltungen des Friedrich Joseph Pythagoras Riecke, welche zwischen 1867 und 1873 erstmals erschienen (und 1973 einen Nachdruck erfuhren).

Schwerpunkt im Dreieck


Formulierung des SatzesBearbeiten

Der Satz lautet wie folgt:[1]

Gegeben sei ein Dreieck   der euklidischen Ebene mit   als Schwerpunkt.
Dann gilt:
  ist derjenige eindeutig bestimmte Punkt im Inneren   der Dreiecksfläche, durch dessen drei Verbindungsstrecken zu den Eckpunkten des Dreiecks dieses in drei Teildreiecke gleichen Flächeninhalts aufgeteilt wird.

Beweis des SatzesBearbeiten

Es gibt mehrere Beweise für diesen einfachen, aber wichtigen Satz:

Beweis mittels ElementargeometrieBearbeiten

Der Satz lässt sich - anschließend an Rieckes Darstellung[1] - im Wesentlichen elementargeometrisch führen, indem man zunächst zeigt, dass der Schwerpunkt   die geforderte Eigenschaft hat. Dieser Ansatz basiert auf der Betrachtung ähnlicher Dreiecke und der Tatsache, dass der Schwerpunkt jede Seitenhalbierende im Verhältnis   teilt.

Nun kann man sich offenbar auf eines der drei Teildreiecke beschränken, und zwar auf das mit der Seite   als Grundlinie. Im Teildreieck   soll der Fußpunkt der von   aus auf die Grundlinie   gefällte Höhe der Punkt   sein, während im Dreieck   der Fußpunkt der von   aus auf   gefällte Höhe der Punkt   sein soll.

Damit hat man:

 

und damit

 .

Der Schwerpunkt   hat demnach die geforderte Eigenschaft.

Auf der anderen Seite kann kein anderer Punkt   im Inneren   der Dreiecksfläche die gezeigte Flächendrittelungseigenschaft haben:

Denn nimmt man einen beliebigen solchen Punkt, etwa - ohne Beschränkung der Allgemeinheit - einen im Inneren   des soeben untersuchten Teildreiecks  .

Dann folgt sogleich

 

und damit

 

und schließlich der Nachweis, dass   als einziger Punkt im Inneren der Dreiecksfläche die geforderte Eigenschaft besitzt.[2]

Beweis mittels Analytischer GeometrieBearbeiten

Es gibt jedoch auch einen eher gleichungsrechnerisch angelegten Weg unter Anwendung der Flächenformeln der Analytischen Geometrie. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit - da Flächeninhalte unter Bewegungen der euklidischen Ebene invariant bleiben - kann angenommen werden, dass das Dreieck im rechten oberen Quadranten liegt, wobei der Eckpunkt   als mit dem Ursprung identisch vorausgesetzt wird, die Seite   als auf der Abszissenachse liegend und hinsichtlich ihrer Länge die der beiden anderen Seiten übertreffend oder zumindest nicht unterschreitend. Es sei also angenommen:

(1)  
(2)   mit  
(3)   mit  

Gesucht ist nun der Punkt

(I)   mit  ,

für den hinsichtlich der Flächeninhalte folgendes gelte:

(II)  

Dann lässt sich zeigen, dass dieser Punkt der Schwerpunkt ist.

Dazu stellen wir fest:

(4)  
(5)  
(6)  [3]
(7)  

Angesichts von (4) - (7) ist (II) gleichwertig mit

(IIa)  
(IIb)  
(IIc)  

und damit wegen   auch gleichwertig mit

(IIe)  
(IIf)  

und schließlich auch gleichwertig mit

(IIg)  
(IIh)  ,

womit alles gezeigt ist.

LiteraturBearbeiten

  • Mathematische Unterhaltungen. Erstes Heft. Dr. Martin Sändig, Walluf bei Wiesbaden, ISBN 3-500-26010-1 (Unveränderter Neudruck der Ausgabe Stuttgart 1867–1873).

Einzelnachweise und AnmerkungenBearbeiten

  1. 1,0 1,1 Friedrich Joseph Pythagoras Riecke (Hrsg.): Mathematische Unterhaltungen. Erstes Heft. 1973, S. 76
  2. Bei Riecke ist die letzte Überlegung nicht ausgeführt.
  3. Hier kommt die Betragsfunktion ins Spiel!