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Innerhalb der Gruppe sei die Untergruppe derjenigen Automorphismen mit für alle Geraden .


Hilfssatz: ist Normalteiler von . Ist eine Gerade, so operiert auf kanonische Weise auf dem Parallelenbündel .

Beweis: Die kanonische Operation von auf induziert eine Operation auf der Menge der Parallelenbündel, da jeder Automorphismus parallele Geraden in parallele Geraden abbildet. ist gerade der Kern des zugehörigen Homomorphismus und somit Normalteiler. Hieraus folgt auch sofort, dass auf jedem Element von , d.h. auf jedem Parallelenbündel operiert.


Hilfssatz: Ist nicht die Identität, so hat höchstens einen Fixpunkt.

Beweis: Sei . Ist ein Fixpunkt, so ist jede Gerade durch Fixgerade: Aus und folgt .

Seien zwei verschiedene Fixpunkte. Sei beliebig. Gilt , so ist nach der gerade gezeigten Aussage eine Fixgerade. Gilt dagegen , so gibt es ein mit . Als Schnittpunkt der Fixgeraden und ist Fixpunkt. Damit ist auch Fixgerade. Folglich ist die identische Abbildung und somit die Identität.


Ist , so heißt die Gruppe der Homothetien mit Zentrum . Es ist klar, dass es sich um eine Gruppe handelt, nämlich den Stabilisator von unter der kanonischen Operation von auf .

Hilfssatz: Fixgeraden einer nichttrivialen Homothetie sind genau die durch das Zentrum verlaufenden Geraden.

Beweis: Sei . Ist eine nicht durch verlaufende Fixgerade und , so ist als Schnittpunkt der Fixgeraden und ein Fixpunkt. Es folgt, dass die Identität ist.


Hilfssatz: Gilt , so operiert treu auf .

Beweis: Zunächst operiert auf , da Fixgerade ist. Da die Bahn von nur aus selbst besteht, operiert auch auf , hier sogar treu, da nur die Identität weitere Fixpunkte hat.

Sei die Menge der fixpunktfreien Elemente von zusammen mit der Identität. heißt die Gruppe der Translationen.


Hilfssatz: Ist fixpunktfrei, so gilt für stets . Genau die Parallelen zu sind Fixgeraden.

Beweis: Die Gerade ist wegen und Fixgerade. Würde eine weitere Fixgerade schneiden, so wäre der Schnittpunkt Fixpunkt, also sind alle Fixgeraden zu parallel. Da für auch Fixgerade ist, folgt insbesondere . Ist , so wählen wir einen Punkt . Dann fällt mit der Fixgeraden zusammen.


Hilfssatz: ist eine Gruppe.

Beweis: Zunächst enthält die Identität und ist somit nicht leer.

Ist fixpunktfrei, so gilt dies auch für , so dass gegen Inversenbildung abgeschlossen ist.

Um zu zeigen, dass eine Untergruppe von ist, bleibt die Abgeschlossenheit zu zeigen. Sei also . Ist oder die Identität, so folgt sofort . Wir nehmen daher an, dass und fixpunktfrei sind und mindestens einen Fixpunkt hat.

Sei beliebig, , . Dann gilt (aber möglicherweise ). Es folgt , also . Alle Parallelen zu sind also fix sowohl unter als auch , somit auch unter . Mindestes eine hiervon, etwa , verläuft nicht durch . Ist ein auf liegender Punkt, so ist dieser als Schnittpunkt der beiden Fixgeraden und ein zweiter Fixpunkt. Somit ist die Identität und in der Tat .


Hilfssatz: operiert treu auf . Ist eine Gerade, so operiert deren Stabilisator treu auf .

Beweis: Klar, da nur die Identität Fixpunkte hat.


Hilfssatz: ist ein Normalteiler von . Ist eine Gerade, so ist ebenfalls Normalteiler von

Beweis: besteht genau aus denjenigen Elementen von , die auf dem Parallelenbündel zu trivial operieren, folglich . Da jedes Element von für geeignetes in einem liegt, folgt auch .

Desarguessche Ebenen

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Im Folgenden sei angenommen, dass der Satz von Desargues in der folgenden Form gilt:

Satz von Desargues: Seien   sechs verschiedene Punkte. Die Geraden   seien alle parallel ("uneigentlich zentralperspektiv") oder gehen alle durch einen gemeinsamen Punkt   ("zentralperspektiv mit Zentrum  "). Dann folgt aus   und   auch  .

Dann ergeben sich weitere Schlussfolgerungen:

Hilfssatz:   operiert transitiv auf  . Für   operiert   transitiv auf  .

Beweis: Seien   zwei Punkte,  . Wir suchen ein   mit  .

Definiere   wie folgt:

  1. Für   mit   setze  .
  2. Für   mit   setze  .
  3. Für   mit   setze  
  4. Für sonstige   (also solche Geraden mit   und  ) wähle ein   mit   und setze  .
  5. Für sonstige   (also solche mit  ) wähle eine von   verschiedene Gerade   mit   und setze  .

Zu zeigen ist als erstes, dass dies wohldefiniert ist. Zunächst besteht kein Konflikt zwischen 1 und 2, da beide   definieren.

Die Definition unter 4 hängt nicht von der Wahl des Punktes   ab: Sei   ein weiterer Punkt mit   und  . Wegen 3 gilt  , also sind die Dreiecke   und   uneigentlich zentralperspektiv. Aus   und   (beides wegen 1) folgt daher auch  , also  .

Die Definition unter 5 hängt nicht von der Wahl der Geraden   ab: Sei   eine weitere Gerade, die   in   schneidet. Sei   mit   und   mit  . Mit   sind dann die Dreiecke   und   uneigentlich zentralpersektiv. Aus   und   folgt dann auch  , d.h.   und schließlich  .

Man beachte noch, dass aus 5 nach Wahl einer von   verschiedenen Geraden   durch   sofort wie beabsichtigt   folgt.

Als nächstes sei   und   mit  . Zu zeigen ist, dass dann auch   gilt. Im Fall   ist dies aus 1 klar. Im Fall   ergibt sich aus 2  , so dass die Behauptung aus 3 ( ) bzw. 5 ( ) folgt. Im Fall   folgt die Aussage aus 3. Falls   folgt die Behauptung aus 4. Falls schließlich   folgt die Behauptung aus 5. Hiermit ist die Fallunterscheidung vollständig, d.h.   ist zumindest ein Endomorphismus.

Wir erhalten einen weiteren Endomorphismus  , wenn wir die Rollen von   und   vertauschen. Man überprüft wiederum fallweise unmittelbar, dass   und ebenso   die Identität ist. Folglich ist  .

Wegen 1, 2, 4 gilt stets  , so dass sogar   gilt.

Da alle Parallelen zu   Fixgeraden sind, kann   keine nichttriviale Homothetie sein, ist also eine Translation,  . Da   Fixgerade ist, gilt sogar  . Folglich operiert   in der Tat transitiv auf   und für jede Gerade   auch   transitiv auf  .  

Sind   zwei Punkte, so bezeichnen die eindeutig bestimmte Translation, die   auf   abbildet, im Folgenden als  .


Hilfssatz:   ist abelsch.

Beweis: Seien   zwei Translationen, sei   beliebig,  ,  .

Falls   nicht kollinear sind, folgt   und ebenso  . Somit folgt  . Hieraus ergibt sich bereits  .

Es bleibt der Fall zu betrachten, dass   alle auf einer Geraden   liegen. Falls zwei dieser Punkte zusammenfallen, ist eine der Abbildungen   die Identität und die Vertauschbarkeit trivialerweise erfüllt. Wir können die drei Punkte   also als verschieden voraussetzen. Wähle   mit  . Es folgt, dass   gilt. Dann sind   nicht kollinear, so dass   mit   vertauscht. Ferner sind   wegen   nicht kollinear, so dass auch   mit   vertauscht. Folglich ist  .  


Hilfssatz: Ist  , so operiert   transitiv auf  .

Beweis: Seien   zwei Punkte,  . Wir suchen ein   mit  .

Definiere   wie folgt:

  1. Setze  .
  2. Für   mit   setze  .
  3. Für   mit   setze  .
  4. Für   mit   setze  .
  5. Für   mit   wähle   mit   und setze  .
  6. Für   mit   wähle   mit   und   und setze  .

Zunächst ist zu zeigen, dass dies wohldefiniert ist. Zwischen 2 und 3 besteht kein Konflikt, da im Fall   beide Varianten   ergeben. Zwischen 2 und 5 besteht kein Konflikt, denn wegen 4 liegt für jedes gewählte   auf jeden Fall auch   auf  , so dass sich wie bei 2 ebenfalls   ergibt. Die Definition unter 5 hängt nicht von der Wahl von   ab: Ist auch   und  , so sind die Dreiecke   und   zentralperspektiv mit Zentrum  . Wegen 3 und 4 ist   und  , nach dem Satz von Desargues also auch  . Es folgt  .

Die Definition unter 6 hängt nicht von der Wahl der Geraden   ab: Ist   eine weitere Gerade mit   und  , so

Dann besteht aber auch kein Konflikt zwischen 4 und 6, da wir im Falle   ja   wählen können.

Folglich ist   wohldefiniert.

Insbesondere ergibt sich aus 3 und 6 wie gewünscht  .

Analog zum entsprechenden Beweis für Translationen weist man nach, dass   ein Endomorphismus ist und dass durch Vertauschen von   und   sich ein inverser Endomorphismus ergibt, d.h. es gilt  .

Aus 2, 3, 5 ergibt sich jeweils  , so dass   folgt. Wegen   folgt sogar  .  

Sind   kollinear und  , so wird die eindeutig bestimmte Homothetie mit Zentrum  , die   auf   abbildet, im Folgenden mit   bezeichnet.


Hilfssatz: Ist   so ist   eine abelschen Gruppe, wenn man   für   definiert.   operiert auf  .

Beweis: Die Abbildung   ist eine Bijektion mit Umkehrabbildung  . Wegen   ist dies auch ein Gruppoid-Homomorphimus.

Dass   auf dieser Gruppe operiert, folgt unmittelbar aus   .  


Hilfssatz: Schneiden sich die Geraden   und   in 0 und ist  , so ist die Abbildung   ein Homomorphismus von abelschen Gruppen und mit der Operation von   verträglich.

Beweis: Ist   und sind   die Parallelen zu   durch  , so folgt  . Wegen   ist  , also   und ebenso  , folglich   der Schnittpunkt von   mit   ist, also  .  


Satz: Ist   und sind  ,  ,  , zwei auf ihr liegende Punkte, so wird   zu einem Schiefkörper, wenn man für   definiert

  •  ,
  •  , sofern  ,
  •  .

Bis auf Isomorphie ist der Schiefkörper nicht von der Wahl von  , 0 und 1 abhängig.

Beweis: Dass   eine abelsche Gruppe mit neutralem Element 0 ist, wurde oben gezeigt. Auf dieselbe Art sehen wir aus der Bijektion  , dass   eine Gruppe mit neutralem Element 1 ist.

Sei  . Da   auf   operiert, gilt für   stets  , d.h. die Multiplikation ist von links distributiv über die Addition (im Fall   trivialerweise).

Sei wieder  ,   eine weitere Gerade durch 0 und  ,  . Die Parallelen zu   induzieren einen Isomorphismus  , die Parallelen zu   einen Isomorphismus  . Insgesamt ergibt sich ein Automorphismus   von  , der   abbildet. Ist   mit  , so ergibt sich   (das Dreieck   wird homothetisch auf   abgebildet) sowie trivialerweise  , d.h.   ist die Rechtsmultiplikation mit  . Es folgt, dass die Multiplikation auch von rechts distributiv ist.

Somit ist   ein Ring und, da alle   invertierbar sind, sogar ein Schiefkörper.

Die Unabhängigkeit von der Wahl von  , 0, 1 ist nur eine Folge folgender Tatsachen:

  • Für   gilt  , weil   transitiv auf   operiert.
  • Für sich schneidende Geraden   gilt nach dem vorhergehenden Hilfssatz   und für parallele wieder wegen der Transitivität von  .