Beweisarchiv: Geometrie: Planimetrie: Kreis: Sekantensatz

Beweisarchiv: Geometrie

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Sekantensatz

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Der Sekantensatz sagt: Schneiden zwei Sekanten einander außerhalb des Kreises in einem Punkt  , so ist das Produkt der Abschnittslängen vom Sekantenschnittpunkt bis zu den beiden Schnittpunkten von Kreis und Sekante auf beiden Sekanten gleich groß.

 
Sekantensatz

Gegeben sei ein Kreis mit zwei Sekanten die sich in einem Punkt   außerhalb des Kreises schneiden. Bezeichnet man die Schnittpunkte des Kreises mit der einen Sekante als   beziehungsweise   und der anderen Sekante als   beziehungsweise   so gilt:

 

Diese Aussage kann man auch als Verhältnisgleichung formulieren:

 


Der Sekantensatz lässt sich – ähnlich wie der Sehnensatz und der Sekanten-Tangenten-Satz – mit Hilfe ähnlicher Dreiecke beweisen.

Die   und   sind ähnliche Dreiecke, denn:

1) Gemeinsamer Winkel   in Punkt  

2) Die Umfangswinkel über einer Sehne sind gleich groß; Sehne   ergibt  

  ähnliche Dreiecke

daraus ergibt sich die Verhältnisgleichung

 

und umgewandelt

 


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