Beweisarchiv: Geometrie: Planimetrie: Kreis: Sekantensatz
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- Trigonometrie in der komplexen Ebene: Tangens und Kotangens in rechtwinkligen Dreiecken aus komplexen Zahlen
Sekantensatz
BearbeitenDer Sekantensatz sagt: Schneiden zwei Sekanten einander außerhalb des Kreises in einem Punkt , so ist das Produkt der Abschnittslängen vom Sekantenschnittpunkt bis zu den beiden Schnittpunkten von Kreis und Sekante auf beiden Sekanten gleich groß.
Gegeben sei ein Kreis mit zwei Sekanten die sich in einem Punkt außerhalb des Kreises schneiden. Bezeichnet man die Schnittpunkte des Kreises mit der einen Sekante als beziehungsweise und der anderen Sekante als beziehungsweise so gilt:
Diese Aussage kann man auch als Verhältnisgleichung formulieren:
Der Sekantensatz lässt sich – ähnlich wie der Sehnensatz und der Sekanten-Tangenten-Satz – mit Hilfe ähnlicher Dreiecke beweisen.
Die und sind ähnliche Dreiecke, denn:
1) Gemeinsamer Winkel in Punkt
2) Die Umfangswinkel über einer Sehne sind gleich groß; Sehne ergibt
- ähnliche Dreiecke
daraus ergibt sich die Verhältnisgleichung
und umgewandelt
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