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Berechnung des Flächeninhalts des Diagonalendreiecks im Quader

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Diagonalendreieck im Quader

Gegeben sei ein Quader mit den Seitenlängen       .

In diesem Quader werden die Diagonalen von drei an einer gewissen Ecke — etwa       — zusammenstoßenden Seitenrechtecken in einem zusammenhängenden Streckenzug so verbunden, dass die davon umfassten Punkte ein Dreieck       bilden, das ganz in dem Quader enthalten ist, dessen Ecken       zugleich Ecken des Quaders sind und welches der Ecke       derart gegenüberliegt, dass die so entstehende geometrische Figur       eine Pyramide darstellt.

Dieses Dreieck       soll im Folgenden kurz als Diagonalendreieck bezeichnet werden.

Es ist nun die Aufgabe, eine Formel für den Flächeninhalt       dieses Diagonalendreiecks       in Anhängigkeit von den Seitenlängen   zu bestimmen.

Diese Formel lässt sich bestimmen unter Benutzung der Formel des Heron und aufgrund der Tatsache, dass die Seitenlängen von       nach dem Satz des Pythagoras offenbar wie folgt von den Seitenlängen   abhängen:

 
 
 


Also hat man zusammen mit der Identität

 

zunächst

    .

Durch Einsetzen ergibt sich dann

 

und weiter

    .

Also folgt schließlich

    .


q.e.d


Dieser Beweis lässt sich mit Hilfe der obigen Skizze Diagonalendreieck im Quader gut nachvollziehen.

Hat der gegebene Quader z. B. eine quadratische Grundfläche mit einer Kantenlänge   und eine Höhe mit der Länge  , ergibt sich das Diagonalendreieck als gleichschenkliges Dreieck   mit   und  .

I

Berechnung des Flächeninhalts des Diagonalendreiecks   in Flächeneinheiten [FE] auf die herkömmliche Weise:

zunächst ist die Höhe nach dem Satz des Pythagoras zu bestimmen
 
durch Umformen ergibt sich
 
nach dem Einsetzen der Werte für   und   in die allgemeine Formel für den Flächeninhalt des Dreiecks ist
    .
II

Berechnung des Flächeninhalts des Diagonalendreiecks   in Flächeneinheiten [FE] nach der oben bestimmten allgemeinen Formel:

 
nach dem Einsetzen der Werte für  ,   und   ergibt sich
 
III

Der Vergleich der beiden Ergebnisse zeigt:

 .