Beweisarchiv: Geometrie: Planimetrie: Kreis: Mittelpunktswinkel-Umfangswinkel

Beweisarchiv: Geometrie

Schwerpunktsätze von Leibniz
Planimetrie
Kreis: Mittelpunktswinkel-Umfangswinkel · Satz des Ptolemäus · Sehnensatz · Sehnentangentenwinkel · Sehnenviereck · Sekantensatz · Japanischer Satz für konzyklische Vierecke · Satz des Thales
Rechtwinkliges Dreieck: Satz des Pythagoras
Ellipse: Satz vom Flüstergewölbe · Konjugierte Durchmesser
Regelmäßige Vielecke: Dreieck · Viereck · Fünfeck · Sechseck ·
Dreieck: Satz des Heron · Berechnung des Flächeninhalts des Diagonalendreiecks im Quader · Elementarer Satz zur Charakterisierung des Schwerpunkts im Dreieck via Flächeninhalte
Inzidenzgeometrie ·
affine Geometrie: einfache Hilfssätze · Homothetien und Translationen · Desarguesche affine Ebenen sind Vektorräume
Trigonometrie
Additionstheoreme: Sinus · Kosinus · Tangens · Kotangens
Trigonometriesätze: Sinussatz · Kosinussatz · Neue Folgerungen aus dem Projektionssatz der Dreiecksgeometrie


Mittelpunktswinkel - UmfangswinkelBearbeiten

Nachweis, dass der Mittelpunktswinkel   doppelt so groß wie der Umfangswinkel   ist:

(Siehe Skizze rechts)

Das   ist ein gleichschenkliges Dreieck da   ist. Die anliegenden Winkel sind deshalb gleich groß:

 


Winkelsumme im Dreieck:

 
 


Winkel der Geraden  :

 
 


eingesetzt ergibt sich:

 
 


Für das   gilt dasselbe, so dass analog gilt:

 


und damit:

 
 
 


Da der Punkt   beliebig auf dem Kreisbogen verschoben werden kann, gilt dieser Nachweis für alle Umfangswinkel. Damit ist auch der Beweis erbracht, dass alle Umfangswinkel über derselben Sehne   gleich sind.


SonderfallBearbeiten

Ein besonders wichtiger Sonderfall liegt vor, wenn der gegebene Kreisbogen ein Halbkreis ist: In diesem Fall ist der Mittelpunktswinkel gleich   (ein gestreckter Winkel), während die Umfangswinkel gleich  , also rechte Winkel sind. Damit erweist sich der Satz des Thales als Spezialfall des Umfangswinkelsatzes.


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