Beweisarchiv: Geometrie: Planimetrie: Kreis: Mittelpunktswinkel-Umfangswinkel

Beweisarchiv: Geometrie

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Rechtwinkliges Dreieck: Satz des Pythagoras

Ellipse: Satz vom Flüstergewölbe · Konjugierte Durchmesser

Regelmäßige Vielecke: Dreieck · Viereck · Fünfeck · Sechseck ·

Dreieck: Satz des Heron · Berechnung des Flächeninhalts des Diagonalendreiecks im Quader · Elementarer Satz zur Charakterisierung des Schwerpunkts im Dreieck via Flächeninhalte

Viereck: Flächenformel von Bretschneider

Inzidenzgeometrie ·

affine Geometrie: einfache Hilfssätze · Homothetien und Translationen · Desarguesche affine Ebenen sind Vektorräume

Trigonometrie

Additionstheoreme: Sinus · Kosinus · Tangens · Kotangens

Trigonometriesätze: Sinussatz · Kosinussatz · Neue Folgerungen aus dem Projektionssatz der Dreiecksgeometrie

Trigonometrie in der komplexen Ebene: Tangens und Kotangens in rechtwinkligen Dreiecken aus komplexen Zahlen

Mittelpunktswinkel - Umfangswinkel

Nachweis, dass der Mittelpunktswinkel $\varphi$ doppelt so groß wie der Umfangswinkel $\gamma$ ist:

(Siehe Skizze rechts)

Das $\bigtriangleup {AMC}$ ist ein gleichschenkliges Dreieck da ${\overline {AM}}={\overline {CM}}=r$ ist. Die anliegenden Winkel sind deshalb gleich groß:

$\alpha _{1}=\gamma _{1}\,$

Winkelsumme im Dreieck:

$\alpha _{1}+\gamma _{1}+\delta _{1}=180^{\circ }\,$

$\delta _{1}=180^{\circ }-\alpha _{1}-\gamma _{1}=180^{\circ }-2\gamma _{1}\,$

Winkel der Geraden $180^{\circ }$:

$\delta _{1}+\varphi _{1}=180^{\circ }\,$

$\varphi _{1}=180^{\circ }-\delta _{1}\,$

eingesetzt ergibt sich:

$\varphi _{1}=180^{\circ }-180^{\circ }+2\gamma _{1}\,$

$\varphi _{1}=2\gamma _{1}\,$

Für das $\bigtriangleup {BMC}$ gilt dasselbe, so dass analog gilt:

$\varphi _{2}=2\gamma _{2}\,$

und damit:

$\varphi =\varphi _{1}+\varphi _{2}=2\gamma _{1}+2\gamma _{2}=2(\gamma _{1}+\gamma _{2})\,$

$\gamma =\gamma _{1}+\gamma _{2}\,$

$\varphi =2\gamma \,$

Da der Punkt $C$ beliebig auf dem Kreisbogen verschoben werden kann, gilt dieser Nachweis für alle Umfangswinkel. Damit ist auch der Beweis erbracht, dass alle Umfangswinkel über derselben Sehne ${\overline {AB}}$ gleich sind.

Sonderfall

Satz des Thales

Ein besonders wichtiger Sonderfall liegt vor, wenn der gegebene Kreisbogen ein Halbkreis ist: In diesem Fall ist der Mittelpunktswinkel gleich $180^{\circ }$ (ein gestreckter Winkel), während die Umfangswinkel gleich $90^{\circ }$, also rechte Winkel sind. Damit erweist sich der Satz des Thales als Spezialfall des Umfangswinkelsatzes.

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