Beweisarchiv: Geometrie: Planimetrie: Viereck: Flächenformel von Bretschneider

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Viereck: Flächenformel von Bretschneider

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Trigonometrie in der komplexen Ebene: Tangens und Kotangens in rechtwinkligen Dreiecken aus komplexen Zahlen

Formel von Bretschneider

Die Fläche eines Vierecks aus den vier Seiten und zwei gegenüber liegenden Winkeln ist

(1)   $A=A_{1}+A_{2}$

Dreiecksflächen über zwei Seiten und den Innenwinkel $A_{1}$ und $A_{2}$ siehe analog Beweisarchiv Satz des Heron Formel (3)

(1.1)   $A_{1}={\frac {ab\sin \beta }{2}}$

(1.2)   $A_{2}={\frac {cd\sin \delta }{2}}$

Summe und quadriert

(2.1)   $A^{2}=\left({\frac {ab\sin \beta }{2}}+{\frac {cd\sin \delta }{2}}\right)^{2}={\frac {1}{4}}\left(ab\sin \beta +cd\sin \delta \right)^{2}$

(2.2)   $A^{2}={\frac {1}{4}}\left(a^{2}b^{2}\sin ^{2}\beta +2abcd\sin {\beta }\sin {\delta }+c^{2}d^{2}\sin ^{2}\delta \right)$

Nach dem Kosinussatz ist

(3.1)   $e^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \beta$

(3.2)   $e^{2}=c^{2}+d^{2}-2cd\cos \delta$

gleichgesetzt

(3.3)   $a^{2}+b^{2}-2ab\cos \beta =c^{2}+d^{2}-2cd\ \cos \delta$

(3.4)   $a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2}=2ab\ \cos \beta -2cd\ \cos \delta =2\left(ab\ \cos \beta -cd\ \cos \delta \right)$

quadriert

(3.5)   $\left(\ a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2}\ \right)^{2}=4\left(a^{2}\ b^{2}\ \cos ^{2}\beta -2abcd\ \cos \beta \cos \delta +c^{2}d^{2}\cos ^{2}\delta \right)$

Zusammenhang Sinus/Kosinus

(4.1)   $\cos ^{2}\beta =1-\sin ^{2}\beta$

(4.2)   $\cos ^{2}\delta =1-\sin ^{2}\delta$

(4.3)  $\cos \left(\beta +\delta \right)=\cos \beta \cos \delta -\sin \beta \sin \delta$

(4.4)  $\cos \beta \cos \delta =\cos \left(\ \beta +\delta \right)+\sin \beta \sin \delta$

eingesetzt in (3.5)

(5.1)  $\left(a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2}\right)^{2}=4\left[a^{2}b^{2}-a^{2}b^{2}\sin ^{2}\beta -2abcd\cos \left(\beta +\delta \right)-2abcd\sin {\beta }\sin {\delta }+c^{2}d^{2}-c^{2}d^{2}\sin ^{2}\delta \right]$

(5.2)  $\left(a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2}\right)^{2}=4\left[a^{2}b^{2}+c^{2}d^{2}-2abcd\cos \left(\beta +\delta \right)-\left(a^{2}b^{2}\sin ^{2}\beta +2abcd\sin {\beta }\sin {\delta }+c^{2}d^{2}\sin ^{2}\delta \right)\right]$

weil nach (2.2):

$a^{2}b^{2}\sin ^{2}\beta +2abcd\sin \beta \sin \delta +c^{2}d^{2}\sin ^{2}=4A^{2}$

eingesetzt

(5.3)  $\left(a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2}\right)^{2}=4\left[a^{2}b^{2}+c^{2}d^{2}-2abcd\cos \left(\beta +\delta \right)-4A^{2}\right]$

nach $A^{2}$ aufgelöst

(5.4)  $A^{2}=-{\frac {\left(a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2}\right)^{2}}{16}}+{\frac {\left[a^{2}b^{2}+c^{2}d^{2}-2abcd\cos \left(\beta +\delta \right)\right]}{4}}$

(5.5)  $A^{2}=-{\frac {\left(a^{4}+a^{2}b^{2}-a^{2}c^{2}-a^{2}d^{2}+a^{2}b^{2}+b^{4}-b^{2}c^{2}-b^{2}d^{2}-a^{2}c^{2}-b^{2}c^{2}+c^{4}+c^{2}d^{2}-a^{2}d^{2}-b^{2}d^{2}+c^{2}d^{2}+d^{4}\right)}{16}}+$

$+{\frac {\left[4a^{2}b^{2}+4c^{2}d^{2}-8abcd\cos \left(\beta +\delta \right)\right]}{16}}$

(5.6)  $A^{2}={\frac {{-a}^{4}-b^{4}-c^{4}-d^{4}+2a^{2}b^{2}+{2a}^{2}c^{2}+{2a}^{2}d^{2}+{2b}^{2}c^{2}+{2b}^{2}d^{2}+{2c}^{2}d^{2}}{16}}-{\frac {abcd\cos \left(\beta +\delta \right)}{2}}$

Zwischenrechnung

(6)  $s={\frac {a+b+c+d}{2}}$

(6.1)  $2\left(s-a\right)=-a+b+c+d$

(6.2)  $2\left(s-b\right)=a-b+c+d$

(6.3)  $2\left(s-c\right)=a+b-c+d$

(6.4)  $2\left(s-d\right)=a+b+c-d$

(6.1) bis (6.4) ausmultipliziert

(7)  $16\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)\left(s-d\right)=\left(-a+b+c+d\right)\left(a-b+c+d\right)\left(a+b-c+d\right)\left(a+b+c-d\right)$

rechte Seite schrittweise ausmultipliziert

(7.1.1)  $\left(-a+b+c+d\right)\left(a-b+c+d\right)=-a^{2}+ab-ac-ad+ab-b^{2}+bc+bd+ac-bc+c^{2}+cd+ad-bd+cd+d^{2}$

(7.1.2)  $\left(-a+b+c+d\right)\left(a-b+c+d\right)=-a^{2}-b^{2}+c^{2}+d^{2}+2ab+2cd$

(7.2.1)  $\left(a+b-c+d\right)\left(a+b+c-d\right)=a^{2}+ab+ac-ad+ab+b^{2}+bc-bd-ac-bc-c^{2}+cd+ad+bd+cd-d^{2}$

(7.2.2)  $\left(a+b-c+d\right)\left(a+b+c-d\right)=a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2}+2ab+2cd$

(7.3.1)  $\left(-a^{2}-b^{2}+c^{2}+d^{2}+2ab+2cd\right)\left(a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2}+2ab+2cd\right)=$

$-a^{4}-a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+a^{2}d^{2}-2a^{3}b-2a^{2}cd-a^{2}b^{2}-b^{4}+b^{2}c^{2}+b^{2}d^{2}-2ab^{3}-2b^{2}cd+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2}-c^{4}-c^{2}d^{2}$

$+2abc^{2}+2c^{3}d+a^{2}d^{2}+b^{2}d^{2}-c^{2}d^{2}-d^{4}+2abd^{2}+2cd^{3}+2a^{3}b+2ab^{3}-2abc^{2}-2abd^{2}+4a^{2}b^{2}+4abcd$

$+2a^{2}cd+2b^{2}cd-2c^{3}d-2cd^{3}+4abcd+4c^{2}d^{2}$

(7.3.2)  $\left(-a^{2}-b^{2}+c^{2}+d^{2}+2ab+2cd\right)\left(a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2}+2ab+2cd\right)=$

$-a^{4}-b^{4}-c^{4}-d^{4}+2a^{2}b^{2}+2a^{2}c^{2}+2a^{2}d^{2}+2b^{2}c^{2}+{2b}^{2}d^{2}+2c^{2}d^{2}+8abcd$

(7.4)  $\left(-a+b+c+d\right)\left(a-b+c+d\right)\left(a+b-c+d\right)\left(a+b+c-d\right)=$

$-a^{4}-b^{4}-c^{4}-d^{4}+2a^{2}b^{2}+2a^{2}c^{2}+2a^{2}d^{2}+2b^{2}c^{2}+{2b}^{2}d^{2}+2c^{2}d^{2}+8abcd$

(7.5)  $16\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)\left(s-d\right)=-a^{4}-b^{4}-c^{4}-d^{4}+2a^{2}b^{2}+2a^{2}c^{2}+2a^{2}d^{2}+2b^{2}c^{2}+{2b}^{2}d^{2}+2c^{2}d^{2}+8abcd$

(7.6)  $16\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)\left(s-d\right)-8abcd=-a^{4}-b^{4}-c^{4}-d^{4}+2a^{2}b^{2}+2a^{2}c^{2}+2a^{2}d^{2}+2b^{2}c^{2}+{2b}^{2}d^{2}+2c^{2}d^{2}$

den rechten Teil

$-a^{4}-b^{4}-c^{4}-d^{4}+2a^{2}b^{2}+2a^{2}c^{2}+2a^{2}d^{2}+2b^{2}c^{2}+2b^{2}d^{2}+2c^{2}d^{2}$

in (5.6) eingesetzt

(8.1)  $A^{2}={\frac {16\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)\left(s-d\right)-8abcd}{16}}-{\frac {abcd\cos \left(\beta +\delta \right)}{2}}$

(8.2)  $A^{2}=\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)\left(s-d\right)-{\frac {abcd}{2}}-{\frac {abcd\cos \left(\beta +\delta \right)}{2}}$

(8.3)  $A^{2}=\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)\left(s-d\right)-{\frac {abcd}{2}}\left[1+\cos \left(\beta +\delta \right)\right]$

aus Halbwinkelformel (17.1)

${\frac {1+cos\left(\beta +\delta \right)}{2}}={cos}^{2}{\frac {\beta +\delta }{2}}$

(8.4)  $A^{2}=\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)\left(s-d\right)-abcd\cos ^{2}{\frac {\beta +\delta }{2}}$

oder

(8.5)  $A={\sqrt {\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)\left(s-d\right)-abcd\cos ^{2}{\frac {\beta +\delta }{2}}}}$

Wikipedia-Verweise

Formel von Bretschneider