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Im Folgenden sei ${\mathfrak {E}}=\langle P,G,\varepsilon \rangle$ eine ebene Inzidenzstruktur, d.h. zunächst einmal sind $P$ und $G$ Mengen und $\varepsilon \subseteq P\times G$ eine Inzidenzrelation. Die Elemente von $P$ heißen Punkte, die von $G$ heißen Geraden. Statt $p\varepsilon g$ sage wir auch „$p$ liegt auf $g$“ oder „$g$ geht durch $p$“. Sing $g,h$ verschiedene Geraden und liegt der Punkt $p$ sowohl auf $g$ als auch auf $h$, so sagen wir „$g$ und $h$ schneiden sich (in $p$)“ und $p$ heißt Schnittpunkt von $g$ und $h$. Zwei Geraden $g,h\in G$, die sich nicht schneiden, heißen parallel, in Zeichen $g\|h$. Insbesondere ist jede Gerade zu sich selbst parallel.

Ferner soll ${\mathfrak {E}}$ eine affine Ebene sein, d.h.

• Zu $p_{1},p_{2}\in P$ mit $p_{1}\neq p_{2}$ gibt es genau eine Gerade $g\in G$ mit $p_{1}\varepsilon g$ und $p_{2}\varepsilon g$.
• Zu $g\in G$ und $p\in P$ gibt es genau eine Gerade $h\in G$ mit $p\varepsilon h$ und $g\|h$.
• Es gibt drei Punkte, die nicht sämtlich auf einer Geraden liegen.

Schließlich soll in ${\mathfrak {E}}$ der Satz von Desargues (hier jedoch als Axiom verwendet) gelten:

• ...

Aussage des Satzes

Ist $K$ ein Schiefkörper, so kann man $K^{2}$ als affine Ebene auffassen. Genauer wählt man $P=K^{2}$ als Punktraum, $G=\{a+Kb\mid a\in K^{2},b\in K^{2}\setminus (0,0)\}$ als Geradenraum und setzt $p\varepsilon g\iff p\in g$.

Dann gilt der

Satz

Jede desarguessche affine Ebene ist zu einem $K^{2}$ isomorph.

Vorbemerkungen

Wir benötigen vorab zwei einfache Grundtatsachen über affine Ebenen:

Hilfssatz

Schneiden sich zwei Geraden, so ist der Schnittpunkt eindeutig bestimmt.

Beweis

Sich schneidende Geraden sind insbesondere verschieden. Gäbe es zwei Schnittpunkte, so müsste jede der beiden Geraden die eindeutige Verbindungsgerade dieser Punkte sein. $\Box$

Hilfssatz

Parallelität ist eine Äquivalenzrelation.

Beweis

Nach Definition ist Parallelität gewiss reflexiv und symmetrisch. Für die Transitivität beachte man: Sind $g,h,k$ Geraden mit $g\|h$ und $h\|k$, aber $g\not \|k$, so schneiden $g$ und $k$ sich in einem Punkt $p$. Dann muss sowohl $g$ als auch $k$ die eindeutig bestimmt Parallele zu $h$ durch $p$ sein im Widerspruch zur Annahme. Also ist Parallelität auch transitiv. $\Box$

Beweis

Sei also ${\mathfrak {E}}$ eine desarguessche affine Ebene.

Zunächst gibt es auch Definition drei nicht kollineare Punkte $O,A,B$. Sei $x$ die Gerade durch $O$ und $A$ und $y$ die Gerade durch $O$ und $B$.

Ist jetzt $D\in P$ ein beliebiger Punkt, so gibt es eine eindeutig bestimmte Parallele $g$ zu $y$ durch $D$, die $x$ in einem Punkt $u$ schneidet, da $g$ nicht auch parallel zu $x$ sein kann. Ebenso findet man einen Punkt $v\varepsilon y$.

Hat man umgekehrt Punkte $u\varepsilon x$ und $v\varepsilon y$, so sind die Parallele zu $y$ durch $u$ und die $x$ durch $v$ nicht zueinander parallel, schneiden sich also in einem Punkt $P(u,v)\in P$.

Die beiden Zuordnnungen sind offenbar zueinander invers, so dass man auf diese Weise eine Bijektion

$P\leftrightarrow \{u\in P\mid u\varepsilon x\}\times \{v\in P\mid v\varepsilon y\}$

erhält. Definieren wir zu $g\in G$ die Menge $P(g):=\{p\in P\mid p\varepsilon g\}$ der mit $g$ inzidenten Punkte, schreibt sich dies kürzer als

$P\leftrightarrow P(x)\times P(y).$

Für den Beweis des Satzes ist noch zu zeigen:

• Die Menge $P(x)$ (bzw. $P(y)$) bildet einen Schiefkörper $(P(x),+,\cdot )$ (bzw. $(P(y),+,\cdot )$.
• Diese Schiefkörper sind zueinander isomorph $(P(x),+,\cdot )\approx (P(y),+,\cdot )=:K$.
• Ist $g\in G$, so bildet $P(g)$ unter obiger Bijektion einen eindimensionalen affinen Unterraum von $K\times K$.
• Umgekehrt entspricht jeder eindimensionale affine Unterraum einer Geraden.

Affine Bewegungen

Eine affine Abbildung $\phi$ ist eine Abbildung $\phi \colon P\to P$ sowie eine (ebenfalls mit $\phi$ bezeichnete) Abbildung $\phi \colon G\to G$ mit $\phi (p)\varepsilon \phi (g)$ für alle $p\in P$, $g\in G$ mit $p\varepsilon g$. Gibt es eine beidseitige affine Umkehrabbildung, so heißt $\phi$ eine affine Bewegung. Aus allgemeinen Gründen bilden die affinen Bewegungen eine Gruppe $\operatorname {Aut} ({\mathfrak {E}})$.

Wir betrachten im Folgenden zu einer gegebenen Geraden $g\in G$ eine spezielle Untergruppe ${\mathcal {G}}_{g}<\operatorname {Aut} ({\mathfrak {E}})$, nämlich diejenigen Bewegungen $\phi$ mit $\phi (h)=h$ für alle $h\in G$ mit $h\|g$.

Addititon auf einer Geraden

Sei $g\in G$ eine Gerade und $o\in P$ ein Punkt mit $o\varepsilon g$.

Betrachte die Untergruppe ${\mathcal {A}}<{\mathcal {G}}_{g}$ derjenigen Bewegungen mit $\phi (h)\|h$ für alle Geraden $h\in G$.

Ist $\phi \in {\mathcal {A}}$ so ist $\phi$ bereits durch die Angabe von $\phi (o)$ eindeutig bestimmt. Ist nämlich $p\in P$ ein beliebiger Punkt, der nicht auf $g$ liegt, so lässt $\phi$ die Parallele zu$g$ durch $p$ fest und bildet die Gerade durch $o$ und $p$ in die Parallele hierzu durch $\phi (o)$ ab. Es folgt, dass $p$ auf den Schnittpunkt dieser beiden Geraden abgebildet wird. Damit ist aber $\phi$ auf $G$ bereits festgelegt: Parallele zu $g$ bleiben fix, andere Geraden gehen durch einen Punkt außerhalb $g$ und werden auf die Parallele durch dessen Bildpunkt abgebildet. Dann ist schließlich aber auch $\phi (p)$ für $p\varepsilon g$ festgelegt als Schnittpunkt von $g$ mit $\phi h$ für eine weitere durch $p$ gehende Gerade $h$.

Wir erhalten somit eine injektive Abbildung ${\mathcal {A}}\to P(g)$.

Umgekehrt können wir jedem $a\varepsilon g$ eine Bewegung $\phi \in {\mathcal {A}}$ mit $\phi (o)=a$ zuordnen:

1. Für einen Punkt $p$, der nicht auf $g$ liegt sei $\phi (p)$ der Schnittpunkt der Parallelen zu $g$ durch $p$ und der Parallelen durch $a$ zu der Geraden durch $o$ und $p$.
2. Für zu $g$ parallele Geraden $h$ setze $\phi (h)=h$.
3. Für andere Geraden $h$ wähle einen Punkt $p\varepsilon h$, der nicht auf $g$ liegt und definiere $\phi (h)$ als die Parallele zu $h$ durch $\phi (p)$
4. Für $p\varepsilon g$ wähle eine von $g$ verschiedene Gerade $h$ durch $p$ und definiere $\phi (p)$ als den Schnittpunkt von $g$ und $\phi (h)$.

Falls dies tatsächlich ein Element von ${\mathcal {A}}$ definiert, ist klar, dass diese Zuordnung invers zu der oben gefundenen Abbildung ${\mathcal {A}}\to P(g)$ ist. Zunächst ist jedoch zu zeigen, dass die Abbildung wohldefiniert ist und nicht von den bei 3. und 4. getroffenen Wahlen abhängt.

Sei also $h$ eine nicht zu $g$ parallele Gerade und seien $p_{1},p_{2}$ zwei auf ihr liegende Punkte. Seien $q_{1}=\phi (p_{1})$ und $q_{2}=\phi (p_{2})$. Dann sind die Dreiecke $op_{1}p_{2}$ und $aq_{1}q_{2}$ (uneigentlich) zentralperspektiv, da die entsprechenden Geraden paralel zu $g$ sind. Folglich sind sie auch achsperspektiv. Da $op_{1}\|aq_{1}$ und $op_{2}\|oq_{2}$ gilt, folgt $q_{1}q_{2}\|p_{1}p_{2}=h$. Somit ist $\phi (h)$ in der Tat von de Wahl des Hilfspunktes unabhängig.

Sei jetzt $p\varepsilon g$ und seien $h_{1},h_{2}$ zwei Geraden, die $g$ in $p$ schneiden. Wir wählen Punkte $p_{1}\varepsilon h_{1}$ und $p_{2}\varepsilon h_{2}$, die nicht auf $g$ liegen und setzen wiederum $q_{1}=\phi (p_{1})$ und $q_{2}=\phi (p_{2})$. Nach Konstruktion sind $op_{1}p_{2}$ und $aq_{1}q_{2}$ (uneigentlich) zentralperspektiv, also auch achsperspektiv. Insbesondere ist $q_{1}q_{2}\|p_{1}p_{2}$. Ferner ist $pq_{1}$ parallel zu $\phi (pq_{1})$ und $pq_{2}$ parallel zu </math>\phi(pq_2)</math>. Somit schneiden sich $\phi (pq_{1})$ und $\phi (pq_{2})$ in einem Punkt $q$. Dann sind $pp_{1}p_{2}$ und $qq_{1}q_{2}$ achsperspektiv und somit auch zentralperspektiv. Da jedoch $p_{1}q_{1}$ und $q_{2}q_{2}$ parallel sind (nämlich beide parallel zu $g$), ist auch $pq\|g$, wegen $p\varepsilon g$ also $q\varepsilon g$. Somit ist $\phi (p)=q$ unabhängig von der Wahl er Hilfsgeraden.

Zusammengefasst ergibt sich eine Bijektion ${\mathcal {A}}\leftrightarrow P(g)$, über die wir $P(G)$ mit einer Gruppenstruktur versehen. Offenbar ist hierbei $o$ das neutrale Element.

Wir zeigen noch: ${\mathcal {A}}$ ist abelsch.

Multiplikation auf einer Geraden

Wir betrachten eine Gerade $g\in G$ mit zwei verschiedenen auf ihr liegenden Punkten $o,e$. Ferner sei $n\in G$ eine Geradem, die $g$ in $o$ schneidet. Dann betrachten die Untergruppe ${\mathcal {M}}<{\mathcal {G}}_{g}$ derjenigen Abbildungen, die $n$ fest lassen.

Ist $\phi \in {\mathcal {M}}$, so ist die Abbildung bereits durch $\phi (e)$ festgelegt. Zunächst bildet $\phi$ nämlich $n$ und alle zu $g$ parallelen Geraden auf sich ab. Liegt ein Punkt $p$ auf $n$, so zusätzlich auch auf einer Parallelen zu $g$. Da diese beiden Geraden fix bleiben, gilt auch $\phi (p)=p$. Sei $p$ ein Punkt, der nicht auf $g$ liegt. Schneidet die Verbindungsgerade $ep$ die Gerade $n$ in einem Punkt $q$, so muss $\phi (p)$ der Schnittpunkt von $\phi (e)q$ und der Parallelen zu $g$ durch $p$ sein. Ansonsten ist $ep\|h$ und wird auf die Parallele durch $\phi (e)$ abgebildet. Dann ist $\phi (p)$ der Schnittpunkt hiervon mit der Parallelen zu $g$ durch $p$. Ist jetzt $h\|n$, so gibt es einen Punkt $p\varepsilon h$, der nicht auf $g$ liegt. Dann muss $\phi (h)$ die Parallele zu $h$ durch $\phi (p)$ sein. Sei jetzt $h$ eine sonstige Gerade, die also weder zu $n$ noch zu $g$ parallel. Sei $p$ der Schnittpunkt von $h$ mit $n$ und $q$ der Schnittpunkt von $h$ mit der Parallelen zu $n$ durch $e$. Dann ist $\phi (p)=p$ und $\phi (q)$ bereits festgelegt, weil entweder $q=e$ oder $q\not \varepsilon g$ gilt. Dann muss $\phi (h)$ die Verbidungsgerade $p\phi (q)$ sein. Sei schließlich $p$ ein auf $g$ liegender Punkt und $h$ eine weitere durch $p$ verlaufende Gerade. Dann ist $\phi (p)$ der Schnittpunkt von $g$ und $\phi (h)$.

Da gewiss $\phi (e)\neq o$ gilt, erhalten wir eine injektive Abbildung ${\mathcal {M}}\to P(g)\setminus \{o\}$.

Ist umgekehrt $a\varepsilon g$ ein von $o$ verschiedener Punkt auf $g$, so erhalten wir wie folgt eine Abbildung $\phi \in {\mathcal {M}}$: Sei $n_{e}$ die Parallle zu $n$ durch $e$ und $n_{a}$ die durch $a$.

1. Setze $\phi (n)=n$, $\phi (n_{e})=n_{a}$.
2. Für $h\|g$ setze $\phi (h)=h$.
3. Für $p\varepsilon n$ setze $\phi (p)=p$.
4. Für $p\varepsilon n_{e}$ definiere $\phi (p)$ als den Schnittpunkt von $n_{a}$ mit der Parallelen zu $g$ durch $p$.
5. Ist $h$ nicht parallel zu $n$, so sei $p$ der Schnittpunkt mit $n$ und $q$ der Schnittpunkt mit $n_{e}$. Definiere $\phi (h)$ als die Verbindungsgerade von $p$ und $\phi (q)$.
6. Liegt $p$ nicht auf $n$, so wähle einen Punkt $q$ auf $n$, der nicht auf der Parallelen zu $g$ durch $p$ liegt. Definiere $\phi (p)$ als den Schnittpunkt von $\phi (pq)$ und der Parallelen zu $g$ durch $p$.
7. Liegt $p$ auf keiner der Geraden $g,n,n_{e}$, so schneidet $ep$ die Gerade $n$ in einem Punkt $q\not \varepsilon g$. Dann definiere $\phi (p)$ als den Schnittpunkt von $aq$ mit der Parallelen zu $g$ durch $p$.
8. Ist $h$ parallel zu $n$, aber $h=n$ noch $h=n_{e}$, so wähle einen Punkt $p\varepsilon h$, der nicht auf $g$ liegt. Dann ist $\phi (p)$ bereits definiert. Definiere $\phi (h)$ als die Parallele zu $h$ durch $\phi (p)$.
9. Ist $h$ weder zu $g$ noch zu $n$ paralel, so

entweder parallel zu $n$