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Im Folgenden sei eine ebene Inzidenzstruktur, d.h. zunächst einmal sind und Mengen und eine Inzidenzrelation. Die Elemente von heißen Punkte, die von heißen Geraden. Statt sage wir auch „ liegt auf “ oder „ geht durch “. Sing verschiedene Geraden und liegt der Punkt sowohl auf als auch auf , so sagen wir „ und schneiden sich (in )“ und heißt Schnittpunkt von und . Zwei Geraden , die sich nicht schneiden, heißen parallel, in Zeichen . Insbesondere ist jede Gerade zu sich selbst parallel.

Ferner soll eine affine Ebene sein, d.h.

  • Zu mit gibt es genau eine Gerade mit und .
  • Zu und gibt es genau eine Gerade mit und .
  • Es gibt drei Punkte, die nicht sämtlich auf einer Geraden liegen.

Schließlich soll in der Satz von Desargues (hier jedoch als Axiom verwendet) gelten:

  • ...

Aussage des Satzes

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Ist   ein Schiefkörper, so kann man   als affine Ebene auffassen. Genauer wählt man   als Punktraum,   als Geradenraum und setzt  .

Dann gilt der

Satz

Jede desarguessche affine Ebene ist zu einem   isomorph.

Vorbemerkungen

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Wir benötigen vorab zwei einfache Grundtatsachen über affine Ebenen:

Hilfssatz

Schneiden sich zwei Geraden, so ist der Schnittpunkt eindeutig bestimmt.

Beweis

Sich schneidende Geraden sind insbesondere verschieden. Gäbe es zwei Schnittpunkte, so müsste jede der beiden Geraden die eindeutige Verbindungsgerade dieser Punkte sein.  

Hilfssatz

Parallelität ist eine Äquivalenzrelation.

Beweis

Nach Definition ist Parallelität gewiss reflexiv und symmetrisch. Für die Transitivität beachte man: Sind   Geraden mit   und  , aber  , so schneiden   und   sich in einem Punkt  . Dann muss sowohl   als auch   die eindeutig bestimmt Parallele zu   durch   sein im Widerspruch zur Annahme. Also ist Parallelität auch transitiv.  

Sei also   eine desarguessche affine Ebene.

Zunächst gibt es auch Definition drei nicht kollineare Punkte  . Sei   die Gerade durch   und   und   die Gerade durch   und  .

Ist jetzt   ein beliebiger Punkt, so gibt es eine eindeutig bestimmte Parallele   zu   durch  , die   in einem Punkt   schneidet, da   nicht auch parallel zu   sein kann. Ebenso findet man einen Punkt  .

Hat man umgekehrt Punkte   und  , so sind die Parallele zu   durch   und die   durch   nicht zueinander parallel, schneiden sich also in einem Punkt  .

Die beiden Zuordnnungen sind offenbar zueinander invers, so dass man auf diese Weise eine Bijektion

 

erhält. Definieren wir zu   die Menge   der mit   inzidenten Punkte, schreibt sich dies kürzer als

 

Für den Beweis des Satzes ist noch zu zeigen:

  • Die Menge   (bzw.  ) bildet einen Schiefkörper   (bzw.  .
  • Diese Schiefkörper sind zueinander isomorph  .
  • Ist  , so bildet   unter obiger Bijektion einen eindimensionalen affinen Unterraum von  .
  • Umgekehrt entspricht jeder eindimensionale affine Unterraum einer Geraden.

Affine Bewegungen

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Eine affine Abbildung   ist eine Abbildung   sowie eine (ebenfalls mit   bezeichnete) Abbildung   mit   für alle  ,   mit  . Gibt es eine beidseitige affine Umkehrabbildung, so heißt   eine affine Bewegung. Aus allgemeinen Gründen bilden die affinen Bewegungen eine Gruppe  .

Wir betrachten im Folgenden zu einer gegebenen Geraden   eine spezielle Untergruppe  , nämlich diejenigen Bewegungen   mit   für alle   mit  .

Addititon auf einer Geraden

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Sei   eine Gerade und   ein Punkt mit  .

Betrachte die Untergruppe   derjenigen Bewegungen mit   für alle Geraden  .

Ist   so ist   bereits durch die Angabe von   eindeutig bestimmt. Ist nämlich   ein beliebiger Punkt, der nicht auf   liegt, so lässt   die Parallele zu  durch   fest und bildet die Gerade durch   und   in die Parallele hierzu durch   ab. Es folgt, dass   auf den Schnittpunkt dieser beiden Geraden abgebildet wird. Damit ist aber   auf   bereits festgelegt: Parallele zu   bleiben fix, andere Geraden gehen durch einen Punkt außerhalb   und werden auf die Parallele durch dessen Bildpunkt abgebildet. Dann ist schließlich aber auch   für   festgelegt als Schnittpunkt von   mit   für eine weitere durch   gehende Gerade  .

Wir erhalten somit eine injektive Abbildung  .

Umgekehrt können wir jedem   eine Bewegung   mit   zuordnen:

  1. Für einen Punkt  , der nicht auf   liegt sei   der Schnittpunkt der Parallelen zu   durch   und der Parallelen durch   zu der Geraden durch   und  .
  2. Für zu   parallele Geraden   setze  .
  3. Für andere Geraden   wähle einen Punkt  , der nicht auf   liegt und definiere   als die Parallele zu   durch  
  4. Für   wähle eine von   verschiedene Gerade   durch   und definiere   als den Schnittpunkt von   und  .

Falls dies tatsächlich ein Element von   definiert, ist klar, dass diese Zuordnung invers zu der oben gefundenen Abbildung   ist. Zunächst ist jedoch zu zeigen, dass die Abbildung wohldefiniert ist und nicht von den bei 3. und 4. getroffenen Wahlen abhängt.

Sei also   eine nicht zu   parallele Gerade und seien   zwei auf ihr liegende Punkte. Seien   und  . Dann sind die Dreiecke   und   (uneigentlich) zentralperspektiv, da die entsprechenden Geraden paralel zu   sind. Folglich sind sie auch achsperspektiv. Da   und   gilt, folgt  . Somit ist   in der Tat von de Wahl des Hilfspunktes unabhängig.

Sei jetzt   und seien   zwei Geraden, die   in   schneiden. Wir wählen Punkte   und  , die nicht auf   liegen und setzen wiederum   und  . Nach Konstruktion sind   und   (uneigentlich) zentralperspektiv, also auch achsperspektiv. Insbesondere ist  . Ferner ist   parallel zu   und   parallel zu </math>\phi(pq_2)</math>. Somit schneiden sich   und   in einem Punkt  . Dann sind   und   achsperspektiv und somit auch zentralperspektiv. Da jedoch   und   parallel sind (nämlich beide parallel zu  ), ist auch  , wegen   also  . Somit ist   unabhängig von der Wahl er Hilfsgeraden.

Zusammengefasst ergibt sich eine Bijektion  , über die wir   mit einer Gruppenstruktur versehen. Offenbar ist hierbei   das neutrale Element.

Wir zeigen noch:   ist abelsch.

Multiplikation auf einer Geraden

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Wir betrachten eine Gerade   mit zwei verschiedenen auf ihr liegenden Punkten  . Ferner sei   eine Geradem, die   in   schneidet. Dann betrachten die Untergruppe   derjenigen Abbildungen, die   fest lassen.

Ist  , so ist die Abbildung bereits durch   festgelegt. Zunächst bildet   nämlich   und alle zu   parallelen Geraden auf sich ab. Liegt ein Punkt   auf  , so zusätzlich auch auf einer Parallelen zu  . Da diese beiden Geraden fix bleiben, gilt auch  . Sei   ein Punkt, der nicht auf   liegt. Schneidet die Verbindungsgerade   die Gerade   in einem Punkt  , so muss   der Schnittpunkt von   und der Parallelen zu   durch   sein. Ansonsten ist   und wird auf die Parallele durch   abgebildet. Dann ist   der Schnittpunkt hiervon mit der Parallelen zu   durch  . Ist jetzt  , so gibt es einen Punkt  , der nicht auf   liegt. Dann muss   die Parallele zu   durch   sein. Sei jetzt   eine sonstige Gerade, die also weder zu   noch zu   parallel. Sei   der Schnittpunkt von   mit   und   der Schnittpunkt von   mit der Parallelen zu   durch  . Dann ist   und   bereits festgelegt, weil entweder   oder   gilt. Dann muss   die Verbidungsgerade   sein. Sei schließlich   ein auf   liegender Punkt und   eine weitere durch   verlaufende Gerade. Dann ist   der Schnittpunkt von   und  .

Da gewiss   gilt, erhalten wir eine injektive Abbildung  .

Ist umgekehrt   ein von   verschiedener Punkt auf  , so erhalten wir wie folgt eine Abbildung  : Sei   die Parallle zu   durch   und   die durch  .

  1. Setze  ,  .
  2. Für   setze  .
  3. Für   setze  .
  4. Für   definiere   als den Schnittpunkt von   mit der Parallelen zu   durch  .
  5. Ist   nicht parallel zu  , so sei   der Schnittpunkt mit   und   der Schnittpunkt mit  . Definiere   als die Verbindungsgerade von   und  .
  6. Liegt   nicht auf  , so wähle einen Punkt   auf  , der nicht auf der Parallelen zu   durch   liegt. Definiere   als den Schnittpunkt von   und der Parallelen zu   durch  .
  7. Liegt   auf keiner der Geraden  , so schneidet   die Gerade   in einem Punkt  . Dann definiere   als den Schnittpunkt von   mit der Parallelen zu   durch  .
  8. Ist   parallel zu  , aber   noch  , so wähle einen Punkt  , der nicht auf   liegt. Dann ist   bereits definiert. Definiere   als die Parallele zu   durch  .
  9. Ist   weder zu   noch zu   paralel, so

entweder parallel zu