Beweisarchiv: Geometrie: Planimetrie: Kreis: Japanischer Satz für konzyklische Vierecke

Beweisarchiv: Geometrie

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Voraussetzung

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  sei ein nicht überschlagenes Sehnenviereck.

Ferner sei

  •   der Mittelpunkt des Inkreises von  
  •   der Mittelpunkt des Inkreises von  
  •   der Mittelpunkt des Inkreises von   und
  •   der Mittelpunkt des Inkreises von  .

Behauptung

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  ist ein Rechteck.

 

(im folgenden  -Winkel genannt) weil beide Winkel Umfangswinkel zur Sehne   sind. Daraus folgt, dass

 

weil

 

Durch die Gleichheit dieser Winkel ist   ein Sehnenviereck.

Durch die Eigenschaften der Sehnenvierecke gilt jetzt  

Alle Aussagen gelten analog auch für  

Also gilt auch

 

Durch Addition der Winkel kommt folgendes heraus

 

Da

 

gilt

 

Da alle Aussagen analog für die anderen Winkel zwischen den Mittelpunkten gelten, betragen sie alle  .

Somit ist   ein Rechteck. q.e.d. (quod erat demonstrandum = was zu beweisen war)