Beweisarchiv: Geometrie: Planimetrie: Kreis: Satz des Thales

Beweisarchiv: Geometrie

Schwerpunktsätze von Leibniz
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Rechtwinkliges Dreieck: Satz des Pythagoras
Ellipse: Satz vom Flüstergewölbe · Konjugierte Durchmesser
Regelmäßige Vielecke: Dreieck · Viereck · Fünfeck · Sechseck ·
Dreieck: Satz des Heron · Berechnung des Flächeninhalts des Diagonalendreiecks im Quader · Elementarer Satz zur Charakterisierung des Schwerpunkts im Dreieck via Flächeninhalte
Viereck: Flächenformel von Bretschneider
Inzidenzgeometrie ·
affine Geometrie: einfache Hilfssätze · Homothetien und Translationen · Desarguesche affine Ebenen sind Vektorräume
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Trigonometriesätze: Sinussatz · Kosinussatz · Neue Folgerungen aus dem Projektionssatz der Dreiecksgeometrie
Trigonometrie in der komplexen Ebene: Tangens und Kotangens in rechtwinkligen Dreiecken aus komplexen Zahlen


Satz des Thales

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Der Satz des Thales besagt, dass jedes Dreieck   rechtwinklig ist, wenn   auf einem Halbkreis über   liegt.

Beweis 1

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Da   sind   und   gleichschenklige Dreiecke. Weil die beiden Basiswinkel in einem gleichschenkligen Dreieck gleich groß sind, gilt:

(1)   

und

(2)   


Da alle Winkel in einem Dreieck addiert   ergeben, gilt für das Dreieck  :

(3)   


Setzt man nun  (1)  und  (2)  ein, erhält man:

(3.1)   
(3.2)   
(3.3)   
(3.4)   
(3.5)   


Damit ist der Satz des Thales bewiesen, denn das Dreieck   enthält immer den rechten Winkel   bei   und ist somit immer rechtwinklig.

Siehe auch weiter oben den Sonderfall von Mittelpunktswinkel-Umfangswinkel


Beweis 2

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Man lege ein kartesisches Koordinatensystem so fest, dass der Mittelpunkt   des Kreises im Koordinatenursprung liegt und sich   auf der x-Achse befindet. Nun ist

  und  

Außerdem ist

 

wobei der Winkel   beliebig ist. Die Vektoren   und   sind genau dann rechtwinklig, wenn   ist.

Es ergibt sich nun:

 

wobei

 

ausgenutzt wurde.

q.e.d.



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