Beweisarchiv: Geometrie: Planimetrie: Kreis: Satz des Thales

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Trigonometrie in der komplexen Ebene: Tangens und Kotangens in rechtwinkligen Dreiecken aus komplexen Zahlen

Satz des Thales

Der Satz des Thales besagt, dass jedes Dreieck $\bigtriangleup {ABC}$ rechtwinklig ist, wenn $C$ auf einem Halbkreis über ${\overline {AB}}$ liegt.

Beweis 1

Da ${\overline {AM}}={\overline {CM}}={\overline {BM}}=r$ sind $\bigtriangleup {AMC}$ und $\bigtriangleup {CMB}$ gleichschenklige Dreiecke. Weil die beiden Basiswinkel in einem gleichschenkligen Dreieck gleich groß sind, gilt:

(1)

\alpha _{1}=\gamma _{1}\,

und

(2)

\beta _{2}=\gamma _{2}\,

Da alle Winkel in einem Dreieck addiert $180^{\circ }$ ergeben, gilt für das Dreieck $\bigtriangleup {ABC}$ :

(3)

\alpha _{1}+\beta _{2}+\gamma _{1}+\gamma _{2}=180^{\circ }\,

Setzt man nun (1) und (2) ein, erhält man:

(3.1)

\gamma _{1}+\gamma _{2}+\gamma _{1}+\gamma _{2}=180^{\circ }\,

(3.2)

2\gamma _{1}+2\gamma _{2}=180^{\circ }\,

(3.3)

2(\gamma _{1}+\gamma _{2})=180^{\circ }\,

(3.4)

\gamma _{1}+\gamma _{2}=90^{\circ }\,

(3.5)

\gamma =90^{\circ }\,

Damit ist der Satz des Thales bewiesen, denn das Dreieck $\bigtriangleup {ABC}$ enthält immer den rechten Winkel $\gamma$ bei $C$ und ist somit immer rechtwinklig.

Siehe auch weiter oben den Sonderfall von Mittelpunktswinkel-Umfangswinkel

Beweis 2

Man lege ein kartesisches Koordinatensystem so fest, dass der Mittelpunkt $M$ des Kreises im Koordinatenursprung liegt und sich ${\overline {AB}}$ auf der x-Achse befindet. Nun ist

{\vec {b}}:={\overrightarrow {MB}}={\begin{pmatrix}r\\0\end{pmatrix}}

und

{\vec {a}}:={\overrightarrow {MA}}=-{\vec {b}}.

Außerdem ist

{\vec {c}}:={\overrightarrow {MC}}={\begin{pmatrix}r\cos \delta _{2}\\r\sin \delta _{2}\end{pmatrix}},

wobei der Winkel $\delta _{2}$ beliebig ist. Die Vektoren ${\vec {c}}-{\vec {a}}$ und ${\vec {c}}-{\vec {b}}$ sind genau dann rechtwinklig, wenn $\langle {\vec {c}}-{\vec {a}},{\vec {c}}-{\vec {b}}\rangle =0$ ist.