Beweisarchiv: Geometrie: Planimetrie: Rechtwinkliges Dreieck: Satz des Pythagoras

Beweisarchiv: Geometrie

Schwerpunktsätze von Leibniz
Planimetrie
Kreis: Mittelpunktswinkel-Umfangswinkel · Satz des Ptolemäus · Sehnensatz · Sehnentangentenwinkel · Sehnenviereck · Sekantensatz · Japanischer Satz für konzyklische Vierecke · Satz des Thales
Rechtwinkliges Dreieck: Satz des Pythagoras
Ellipse: Satz vom Flüstergewölbe · Konjugierte Durchmesser
Regelmäßige Vielecke: Dreieck · Viereck · Fünfeck · Sechseck ·
Dreieck: Satz des Heron · Berechnung des Flächeninhalts des Diagonalendreiecks im Quader · Elementarer Satz zur Charakterisierung des Schwerpunkts im Dreieck via Flächeninhalte
Inzidenzgeometrie ·
affine Geometrie: einfache Hilfssätze · Homothetien und Translationen · Desarguesche affine Ebenen sind Vektorräume
Trigonometrie
Additionstheoreme: Sinus · Kosinus · Tangens · Kotangens
Trigonometriesätze: Sinussatz · Kosinussatz · Neue Folgerungen aus dem Projektionssatz der Dreiecksgeometrie


Satz von Pythagoras:

In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der Flächen der Kathetenquadrate gleich der Fläche des Hypotenusenquadrates.

In einem rechtwinkligen Dreieck mit den Katheten a und b sowie der Hypotenuse c ist die Summe der Flächen a² und b² der Kathetenquadrate gleich der Fläche c² des Hypotenusenquadrates.

Es ist zu beachten, dass unten stehende Beweise nur einen Bruchteil der über hundert bekannten Beweisvarianten darstellen!

Geometrischer BeweisBearbeiten

 
Satz des Pythagoras
Geometrischer Beweis

In ein großes Quadrat mit der Seitenlänge   (Hypothenuse) sind vier rechtwinklige Dreiecke mit den kurzen, senkrecht aufeinander stehenden Seiten   und   (Katheten) wie in der Skizze eingezeichnet. Die Kantenlänge des kleinen Quadrats in der Mitte ist  . Die Fläche für das kleine Quadrat ist somit  .

Die Fläche des großen Quadrats   setzt sich aus den Flächen der vier Dreiecke (jeweils  ) und der des Quadrats in der Mitte   zusammen.

Daraus ergibt sich wie folgt:

 

und damit der Satz des Pythagoras:

 

q.e.d

Heronsche Formel Satz des PythagorasBearbeiten

Es lässt sich zeigen, dass die heronsche Formel und der Satz des Pythagoras innerhalb der Elementargeometrie als gleichwertig zu betrachten sind.

Satz des Pythagoras   Heronsche FormelBearbeiten

Der Beweis geht in Anlehnung an Fraedrich und Lambacher-Schweizer wie folgt:[1][2]

 
Satz des Pythagoras   Heronsche Formel

Für ein gegebenes Dreieck   nehme man ohne Beschränkung der Allgemeinheit an, dass die Seitenlängen   und   sowie   seien und dass dabei die Ungleichungen   gelten mögen.

Weiter sei   der Fußpunkt der Höhe vom Eckpunkt   auf die Seite   .

Schließlich sei   und  

Damit hat man zunächst

  .

Nach dem pythagoreischen Lehrsatz gelten dann die beiden folgenden Identitäten:

 

und

  .

Daraus ergibt sich unter Anwendung der dritten binomischen Formel

 

und weiter

  .

Also schließt man weiter

 

und daraus dann

    .

Dies ergibt

    .

Hinsichtlich der Dreiecksfläche   bedeutet dies

    .

Nun wird die Gleichung

 

benutzt und man erhält mittels elementarer Algebra

    .

Also gilt insgesamt

    .

q.e.d

Heronsche Formel   Satz des PythagorasBearbeiten

Man erhält den Satz des Pythagoras auch direkt aus der heronschen Formel, und zwar auf rein algebraischem Wege.

Dabei stellt man in Rechnung, dass es für den Flächeninhalt  , wenn   ein rechtwinkliges Dreiecks ist, zwei Darstellungen gibt!

Denn man hat einerseits offenbar

 .

Anderseits jedoch gilt nach Heron

 

mit

    .

Also folgt nacheinander und unter Benutzung der binomischen Formeln

 

und daraus

    .

Folglich gilt auch

 

und weiter

 

und schließlich

  .

q.e.d

HintergrundliteraturBearbeiten

  • Anna Maria Fraedrich: Die Satzgruppe des Pythagoras (Reihe Lehrbücher und Monographien zur Didaktik der Mathematik, Bd. 29). B.I.-Wissenschaftsverlag, Mannheim - Leipzig - Wien - Zürich 1994, ISBN 3-411-17321-1.
  • Theophil Lambacher - Wilhelm Schweizer (Hrsg.): Lambacher-Schweizer. Mathematisches Unterrichtswerk für höhere Schulen. Geometrie. Ausgabe E. Teil 2. 13. Auflage. Ernst Klett Verlag, Stuttgart 1965.


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Ellipse: Satz vom Flüstergewölbe · Konjugierte Durchmesser
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WeblinksBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Anna Maria Fraedrich: Die Satzgruppe des Pythagoras 1994, S. 324
  2. Lambacher-Schweizer. Mathematisches Unterrichtswerk für höhere Schulen. Geometrie. Ausgabe E. Teil 2 1965, S. 99-100