Beweisarchiv: Geometrie: Trigonometrie: Additionstheoreme: Kotangens

Beweisarchiv: Geometrie

Schwerpunktsätze von Leibniz

Planimetrie

Kreis: Mittelpunktswinkel-Umfangswinkel · Satz des Ptolemäus · Sehnensatz · Sehnentangentenwinkel · Sehnenviereck · Sekantensatz · Tangentenviereck · Japanischer Satz für konzyklische Vierecke · Satz des Thales

Rechtwinkliges Dreieck: Satz des Pythagoras

Ellipse: Satz vom Flüstergewölbe · Konjugierte Durchmesser

Regelmäßige Vielecke: Dreieck · Viereck · Fünfeck · Sechseck ·

Dreieck: Satz des Heron · Berechnung des Flächeninhalts des Diagonalendreiecks im Quader · Elementarer Satz zur Charakterisierung des Schwerpunkts im Dreieck via Flächeninhalte

Viereck: Flächenformel von Bretschneider

Inzidenzgeometrie ·

affine Geometrie: einfache Hilfssätze · Homothetien und Translationen · Desarguesche affine Ebenen sind Vektorräume

Trigonometrie

Additionstheoreme: Sinus · Kosinus · Tangens · Kotangens

Trigonometriesätze: Sinussatz · Kosinussatz · Neue Folgerungen aus dem Projektionssatz der Dreiecksgeometrie

Trigonometrie in der komplexen Ebene: Tangens und Kotangens in rechtwinkligen Dreiecken aus komplexen Zahlen

Additionstheoreme (Kotangens)

Beweis für:

$\cot(\alpha \pm \beta )={\frac {\cot \alpha \cdot \cot \beta \mp 1}{\cot \beta \pm \cot \alpha }}$

Es gilt:

(1)   $\cot(\alpha +\beta )={\frac {\cos(\alpha +\beta )}{\sin(\alpha +\beta )}}$

Nach den Additonstheoremen (Sinus) und (Kosinus)

(2.1)   $\cos(\alpha +\beta )=\cos \alpha \cdot \cos \beta -\sin \alpha \cdot \sin \beta$

(2.2)   $\sin(\alpha +\beta )=\sin \alpha \cdot \cos \beta +\sin \beta \cdot \cos \alpha$

in (1) eingestzt

(3)   $\cot(\alpha +\beta )={\frac {\cos \alpha \cdot \cos \beta -\sin \alpha \cdot \sin \beta }{\sin \alpha \cdot \cos \beta +\sin \beta \cdot \cos \alpha }}$

Zähler und Nenner durch   $\sin \alpha \cdot \sin \beta$   geteilt

(4.1)   $\cot(\alpha +\beta )={\frac {\frac {\cos \alpha \cdot \cos \beta -\sin \alpha \cdot \sin \beta }{\sin \alpha \cdot \sin \beta }}{\frac {\sin \alpha \cdot \cos \beta +\sin \beta \cdot \cos \alpha }{\sin \alpha \cdot \sin \beta }}}$

(4.2)   $\cot(\alpha +\beta )={\frac {{\frac {\cos \alpha \cdot \cos \beta }{\sin \alpha \cdot \sin \beta }}-1}{1\cdot {\frac {\cos \beta }{\sin \beta }}+1\cdot {\frac {\cos \alpha }{\sin \alpha }}}}$

mit   $\cot ={\frac {\cos }{\sin }}$   eingesetzt

(5)   $\cot(\alpha +\beta )={\frac {\cot \alpha \cdot \cot \beta -1}{\cot \beta +\cot \alpha }}$

Wenn Winkel   $\beta$   negativ:

(6)   $\cot(\alpha -\beta )={\frac {\cot \alpha \cdot \cot(-\beta )-1}{\cot(-\beta )+\cot \alpha }}$

weil

(7)   $\cot(-\beta )=-\cot \beta$

(8.1)   $\cot(\alpha -\beta )={\frac {-\cot \alpha \cdot \cot \beta -1}{-\cot \beta +\cot \alpha }}$

Zähler und Nenner mal -1

(8.2)   $\cot(\alpha -\beta )={\frac {-\cot \alpha \cdot \cot \beta -1}{-\cot \beta +\cot \alpha }}$

(5) und (8.2) zusammengefasst

(9)   $\cot(\alpha \pm \beta )={\frac {\cot \alpha \cdot \cot \beta \mp 1}{\cot \beta \pm \cot \alpha }}$

Wikipedia-Verweise

Additionstheoreme