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Kosinussatz

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In jedem Dreieck gilt:

 

und entsprechend

 
 

Beweis: Es reicht, die erste Gleichheit zu beweisen. Die andern Beweise laufen entsprechend. Alle Bezeichnungen beziehen sich auf nebenstehende Abbildung.

Es sei   die Höhe auf die Seite  . Nach dem Satz des Pythagoras angewendet auf das rechtwinklige Dreieck ADC gilt

(1)    

Nach der 2. binomischen Formel gilt

(2)    

Nach Pythagoras angewendet auf das Dreieck CDB gilt:

(3)    

Wenn man (1) und (2) in (3) einsetzt, erhält man:

(4)    ,

vereinfacht:

(5)    

Im rechtwinkligen Dreieck ADC gilt:

(6)    

(6) in (5) eingesetzt ergibt das Resultat:

(7)    .

Damit ist die erste Gleichung bewiesen. Die andern beiden beweist man analog.

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Kosinussatz