Beweisarchiv: Geometrie: Planimetrie: Kreis: Satz des Ptolemäus

Beweisarchiv: Geometrie

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Rechtwinkliges Dreieck: Satz des Pythagoras
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Trigonometriesätze: Sinussatz · Kosinussatz · Neue Folgerungen aus dem Projektionssatz der Dreiecksgeometrie
Trigonometrie in der komplexen Ebene: Tangens und Kotangens in rechtwinkligen Dreiecken aus komplexen Zahlen

Satz des Ptolemäus

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Satz des Ptolemäus, vier Punkte   in der Ebene, rechts ein sogenanntes Sehnenviereck  

Für vier Punkte   in der Ebene gilt

 

Gleichheit tritt genau dann ein, wenn   in dieser Reihenfolge oder einer zyklischen Vertauschung davon auf einem Kreis oder einer Geraden liegen.

Insbesondere gilt: Ist   ein Sehnenviereck, so ist die Summe der Produkte der Längen gegenüberliegender Seiten gleich dem Produkt der Längen der Diagonalen, als Formel

 

mit

 

Beweis mit komplexen Zahlen

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Wir identifizieren Punkte mit komplexen Zahlen, die zu beweisende Ungleichung lautet dann

 

Der Betrag ist multiplikativ, also ist dies dasselbe wie

 

In dieser Form folgt die behauptete Ungleichung direkt aus der Dreiecksungleichung

 

Für die Bestimmung des Gleichheitsfalles nehmen wir o.B.d.A. an, dass   gilt. Die Ungleichung wird dann zu

 

Ist ein weiterer der Punkte null, so tritt offenbar der Gleichheitsfall ein; andernfalls kann man durch   teilen und erhält

 

Gleichheit tritt somit genau dann ein, wenn   in dieser Reihenfolge auf einer Geraden   liegen.

Die Abbildung   ist die Verkettung der Inversion am Einheitskreis mit der Spiegelung an der reellen Achse. Es gibt nun zwei verschiedene Fälle:

  •   enthält den Ursprung: In diesem Fall ist   das Bild einer Ursprungsgeraden  , und   in dieser Reihenfolge oder einer zyklischen Vertauschung davon auf  .
  •   enthält den Ursprung nicht: In diesem Fall ist   das Bild eines Kreises  , und   liegen in dieser Reihenfolge auf  .
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Wikipedia-Verweise

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Sehnenviereck · Inversion


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