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Trigonometrie in der komplexen Ebene: Tangens und Kotangens in rechtwinkligen Dreiecken aus komplexen Zahlen

Additionstheoreme (Kosinus)

Beweis für:

$\cos(\alpha \pm \beta )=\cos \alpha \cdot \cos \beta \mp \sin \alpha \cdot \sin \beta$

Im rechtwinkligen Dreieck $\triangle {AOB}$ ist

(1) $\cos(\alpha +\beta )={\frac {\overline {OA}}{1}}={\overline {OA}}$

Im rechtwinkligen Dreieck $\triangle {BOD}$ ist

(2) $\cos \beta ={\frac {\overline {OD}}{1}}={\overline {OD}}$

und

(3) $\sin \beta ={\frac {\overline {BD}}{1}}={\overline {BD}}$

Im rechtwinkligen Dreieck $\triangle {OCD}$ ist

(4.1) $\cos \alpha ={\frac {\overline {OC}}{\overline {OD}}}$

(2) eingesetzt

(4.2) $\cos \alpha ={\frac {\overline {OC}}{\cos \beta }}$

(4.3) $\cos \alpha \cdot \cos \beta ={\overline {OC}}$

Zwischenbeweis:

Die Dreiecke $\triangle {BSD}$ und $\triangle {OSA}$ sind beide rechtwinklig
und deshalb sind $\angle {BSD}=\angle {OSA}$ Scheitelwinkel und daher ist auch

(5.0) $\angle {SOA}=\angle {SBD}=\alpha$

Im rechtwinkligen Dreieck $\triangle {EDB}$ gilt:

(5.1) $\sin \alpha ={\frac {\overline {DE}}{\overline {BD}}}$

(3) eingesetzt

(5.2) $\sin \alpha ={\frac {\overline {DE}}{\sin \beta }}$

(5.3) $\sin \alpha \cdot \sin \beta ={\overline {DE}}$

(6.1) ${\overline {OA}}={\overline {OC}}-{\overline {DE}}$

(4.3) und (5.3) eingesetzt

(6.2) ${\overline {OA}}=\cos \alpha \cdot \cos \beta -\sin \alpha \cdot \sin \beta$

in (1) eingesetzt

(7) $\cos(\alpha +\beta )=\cos \alpha \cdot \cos \beta -\sin \alpha \cdot \sin \beta$

Wenn Winkel $\beta$ negativ:

(8) $\cos(\alpha -\beta )=\cos \alpha \cdot \cos(-\beta )-\sin \alpha \cdot \sin(-\beta )$

(9a) $\cos(-\beta )=+\cos \beta \,$

und

(9b) $\sin(-\beta )=-\sin \beta \,$

eingesetzt in (8)

(10) $\cos(\alpha -\beta )=\cos \alpha \cdot \cos \beta +\sin \alpha \cdot \sin \beta$

(7) und (10) zusammengefasst

(11) $\cos(\alpha \pm \beta )=\cos \alpha \cdot \cos \beta \mp \sin \alpha \cdot \sin \beta$

Daraus ergibt sich auch für den doppelten Winkel

bei $\alpha =\beta$

(12) $\cos 2\alpha =\cos \alpha \cdot \cos \alpha -\sin \alpha \cdot \sin \alpha$

(13) $\cos 2\alpha =\cos ^{2}\alpha -\sin ^{2}\alpha$

oder weil

$\sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha =1$

(14.1) $\cos 2\alpha =\cos ^{2}\alpha -(1-\cos ^{2}\alpha )$

(14.2) $\cos 2\alpha =2\cos ^{2}\alpha -1$

oder

(15.1) $\cos 2\alpha =1-\sin ^{2}\alpha -\sin ^{2}\alpha$

(15.2) $\cos 2\alpha =1-2\sin ^{2}\alpha$

Halbwinkelformel

Aus Formel (14.2): $\cos 2\alpha =2\cos ^{2}\alpha -1$

wenn: $\alpha ={\frac {\varphi }{2}}$

(16) $\cos {\varphi }=2\cos ^{2}{\frac {\varphi }{2}}-1$

aufgelöst nach: ${\cos }^{2}{\frac {\varphi }{2}}$

(17.1) ${\cos }^{2}{\frac {\varphi }{2}}={\frac {1+\cos \varphi }{2}}$

oder

(17.2) $\cos {\frac {\varphi }{2}}={\sqrt {\frac {1+\cos \varphi }{2}}}$

Additionstheoreme (Kosinus)

Beweis für:

$\cos \left(\alpha \pm \beta \right)=\cos \left(\alpha \right)\cdot \cos \left(\beta \right)\mp \sin \left(\alpha \right)\cdot \sin \left(\beta \right)$

Für den Beweis werden die Beziehungen
${\begin{aligned}\sin \left(\alpha \right)&={\frac {1}{2\cdot {\mathsf {i}}}}\cdot \left({\mathsf {e}}^{{\mathsf {i}}\cdot \alpha }-{\mathsf {e}}^{-{\mathsf {i}}\cdot \alpha }\right)\\\cos \left(\alpha \right)&={\frac {1}{2}}\cdot \left({\mathsf {e}}^{{\mathsf {i}}\cdot \alpha }+{\mathsf {e}}^{-{\mathsf {i}}\cdot \alpha }\right)\end{aligned}}$
verwendet.

Es gilt:
${\begin{aligned}\cos \left(\alpha \pm \beta \right)&=\cos \left(\alpha \right)\cdot \cos \left(\beta \right)\mp \sin \left(\alpha \right)\cdot \sin \left(\beta \right)\\&={\frac {1}{2}}\cdot \left({\mathsf {e}}^{{\mathsf {i}}\cdot \alpha }+{\mathsf {e}}^{-{\mathsf {i}}\cdot \alpha }\right)\cdot {\frac {1}{2}}\cdot \left({\mathsf {e}}^{{\mathsf {i}}\cdot \beta }+{\mathsf {e}}^{-{\mathsf {i}}\cdot \beta }\right)\mp {\frac {1}{2\cdot {\mathsf {i}}}}\cdot \left({\mathsf {e}}^{{\mathsf {i}}\cdot \alpha }-{\mathsf {e}}^{-{\mathsf {i}}\cdot \alpha }\right)\cdot {\frac {1}{2\cdot {\mathsf {i}}}}\cdot \left({\mathsf {e}}^{{\mathsf {i}}\cdot \beta }-{\mathsf {e}}^{-{\mathsf {i}}\cdot \beta }\right)\\&={\frac {1}{4}}\cdot \left(\left({\mathsf {e}}^{{\mathsf {i}}\cdot \alpha }+{\mathsf {e}}^{-{\mathsf {i}}\cdot \alpha }\right)\cdot \left({\mathsf {e}}^{{\mathsf {i}}\cdot \beta }+{\mathsf {e}}^{-{\mathsf {i}}\cdot \beta }\right)\pm \left({\mathsf {e}}^{{\mathsf {i}}\cdot \alpha }-{\mathsf {e}}^{-{\mathsf {i}}\cdot \alpha }\right)\cdot \left({\mathsf {e}}^{{\mathsf {i}}\cdot \beta }-{\mathsf {e}}^{-{\mathsf {i}}\cdot \beta }\right)\right)\\&={\frac {1}{4}}\cdot \left({\mathsf {e}}^{{\mathsf {i}}\cdot \left(\alpha +\beta \right)}+{\mathsf {e}}^{{\mathsf {i}}\cdot \left(\alpha -\beta \right)}+{\mathsf {e}}^{-{\mathsf {i}}\cdot \left(\alpha -\beta \right)}+{\mathsf {e}}^{-{\mathsf {i}}\cdot \left(\alpha +\beta \right)}\pm {\mathsf {e}}^{{\mathsf {i}}\cdot \left(\alpha +\beta \right)}\mp {\mathsf {e}}^{{\mathsf {i}}\cdot \left(\alpha -\beta \right)}\mp {\mathsf {e}}^{-{\mathsf {i}}\cdot \left(\alpha -\beta \right)}\pm {\mathsf {e}}^{-{\mathsf {i}}\cdot \left(\alpha +\beta \right)}\right)\\&={\frac {1}{4}}\cdot \left({\mathsf {e}}^{{\mathsf {i}}\cdot \left(\alpha +\beta \right)}\pm {\mathsf {e}}^{{\mathsf {i}}\cdot \left(\alpha +\beta \right)}+{\mathsf {e}}^{{\mathsf {i}}\cdot \left(\alpha -\beta \right)}\mp {\mathsf {e}}^{{\mathsf {i}}\cdot \left(\alpha -\beta \right)}+{\mathsf {e}}^{-{\mathsf {i}}\cdot \left(\alpha -\beta \right)}\mp {\mathsf {e}}^{-{\mathsf {i}}\cdot \left(\alpha -\beta \right)}+{\mathsf {e}}^{-{\mathsf {i}}\cdot \left(\alpha +\beta \right)}\pm {\mathsf {e}}^{-{\mathsf {i}}\cdot \left(\alpha +\beta \right)}\right)\\&={\frac {1}{4}}\cdot \left(\left(1\pm 1\right)\cdot {\mathsf {e}}^{{\mathsf {i}}\cdot \left(\alpha +\beta \right)}+\left(1\mp 1\right)\cdot {\mathsf {e}}^{{\mathsf {i}}\cdot \left(\alpha -\beta \right)}+\left(1\mp 1\right)\cdot {\mathsf {e}}^{-{\mathsf {i}}\cdot \left(\alpha -\beta \right)}+\left(1\pm 1\right)\cdot {\mathsf {e}}^{-{\mathsf {i}}\cdot \left(\alpha +\beta \right)}\right)\\&={\frac {1}{2}}\cdot \left({\mathsf {e}}^{{\mathsf {i}}\cdot \left(\alpha \pm \beta \right)}+{\mathsf {e}}^{-{\mathsf {i}}\cdot \left(\alpha \pm \beta \right)}\right)\end{aligned}}$
Die Umformung zur vorletzten Zeile ist möglich, da entweder $\left(1\pm 1\right)\cdot {\mathsf {e}}^{\pm {\mathsf {i}}\cdot \left(\alpha +\beta \right)}$ oder $\left(1\mp 1\right)\cdot {\mathsf {e}}^{\pm {\mathsf {i}}\cdot \left(\alpha -\beta \right)}$ auftritt.

Wikipedia-Verweise

Additionstheoreme