Beweisarchiv: Geometrie: Trigonometrie: Additionstheoreme: Kosinus

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Additionstheoreme (Kosinus)

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Beweis für:

 

Im rechtwinkligen Dreieck   ist

(1)   

Im rechtwinkligen Dreieck   ist

(2)   

und

(3)   

Im rechtwinkligen Dreieck   ist

(4.1)  

(2) eingesetzt

(4.2)  

(4.3)  


Zwischenbeweis:

Die Dreiecke   und   sind beide rechtwinklig
und deshalb sind   Scheitelwinkel und daher ist auch

(5.0)  


Im rechtwinkligen Dreieck   gilt:

(5.1)  

(3) eingesetzt

(5.2)  

(5.3)  

(6.1)  

(4.3) und (5.3) eingesetzt

(6.2)  

in (1) eingesetzt

(7)  


Wenn Winkel   negativ:

(8)   

(9a)  

und

(9b)  

eingesetzt in (8)

(10)  

(7) und (10) zusammengefasst

(11)   


Daraus ergibt sich auch für den doppelten Winkel

bei  

(12)   

(13)   

oder weil

 

(14.1)   

(14.2)   

oder

(15.1)   

(15.2)   


Halbwinkelformel

Aus Formel (14.2):   

wenn:    

(16)   

aufgelöst nach:    

(17.1)   

oder

(17.2)   

Additionstheoreme (Kosinus)

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Beweis für:

 

Für den Beweis werden die Beziehungen
 
verwendet.

Es gilt:
 
Die Umformung zur vorletzten Zeile ist möglich, da entweder   oder   auftritt.


Wikipedia-Verweise

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Additionstheoreme