Beweisarchiv: Geometrie: Inzidenzgeometrie

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Inzidenzgeometrie ·

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Trigonometrie

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Trigonometrie in der komplexen Ebene: Tangens und Kotangens in rechtwinkligen Dreiecken aus komplexen Zahlen

In der Inzidenzgeometrie behandelt man nur solche Fragestellungen, die die bloßen Lageverhältnisse von Punkten auf Geraden, Geraden in Ebenen usw. behandeln. Man hat im Allgemeinen also eine Menge $P$ von Punkten, eine Menge $G$ von Geraden und im Falle räumlicher Geometrie noch eine Menge $E$ von Ebenen.

Zwischen diesen bestehen Inzidenzrelationen, d.h., ein Punkt kann mit einer Geraden oder einer Ebenen inzidieren, ebenso eine Gerade mit einer Ebene. Im folgenden wird diese Relation jeweils geschrieben in der Form $p\varepsilon g$ , $p\varepsilon e$ , $g\varepsilon e$ , jeweils sowohl zur Erinnerung an als auch zur Unterscheidung von der Elementrelation $\in$ . Textlich wird derselbe Sachverhalt meist ausgedrückt als " $p$ liegt auf $g$ " (bzw. " $g$ geht durch $p$ "), " $p$ liegt in $e$ " sowie " $g$ liegt in $e$ ".

Ist $g$ eine Gerade, so bezeichnen wir mit $P(g)=\{p\in P\mid p\varepsilon g\}$ die Menge der mit $g$ inzidierenden Punkte. Zumindest in allen im Folgenden untersuchten Strukturen gilt $g=g'\iff P(g)=P(g')$ , wodurch gerechtfertigt wird, Geraden als Punktmengen aufzufassen und $\varepsilon$ als $\in$ zu interpretieren. Wir bezeichnen weiter mit $G(p)=\{g\in G\mid p\varepsilon g\}$ die Menge der durch den Punkt $p$ verlaufenden Geraden. Auch hier gilt $p=p'\iff G(p)=G(p')$ zumindest in den nachstehend untersuchte Strukturen, so dass man gleichberechtigt, wenn auch weniger üblich, Punkte als Geradenmengen auffassen und $\varepsilon$ durch $\ni$ interpretieren könnte.

Ein Endomorphismus $\phi$ einer solchen Inzidenzstruktur besteht aus einer Abbildung $\phi _{P}\colon P\to P$ und einer Abbildung $\phi _{G}\colon G\to G$ (sowie - im räumlichen Fall - einer Abbildung $\phi _{E}\colon E\to E$ ), so dass aus $p\varepsilon g$ stets auch $\phi _{P}(p)\varepsilon \phi _{G}(g)$ folgt (im räumlichen Fall entsprechend zusätzlich für Punkt-Geraden- und Geraden-Ebenen-Inzidenz). Gibt es einen Endomorphismus $\psi$ , so dass sowohl $\phi \circ \psi$ als auch $\psi \circ \phi$ die Identität sind, so ist $\phi$ ein Automorphismus. Die Gruppe der Automorphismen wird im Folgenden mit $\operatorname {Aut} (P,G;\varepsilon )$ bzw. $\operatorname {Aut} (P,G,E;\varepsilon )$ bezeichnet.

Prinzipiell könnte man noch weitere geometrische Gebilde und deren Inzidenzverhalten erfassen (beispielsweise Kreise, Strecken, konvexe Punktmengen), im Folgenden betrachten wir jedoch durchweg nur die oben aufgeführten linearen Gebilde.

Durch eine entsprechende Axiomatisierung erfolgt die Abgrenzung gegenüber allgemeineren Inzidenzstrukturen. Es fehlen jedoch beispielsweise sämtliche metrischen Aspekte, also Streckenlängen und Winkelgrößen, sowie Ordnungsaxiome, d.h., von drei kollinearen Punkten lässt sich allgemein nicht ausdrücken, dass einer zwischen den anderen liegt.