Beweisarchiv: Geometrie: Schwerpunktsätze von Leibniz

Die beiden Schwerpunktsätze von GOTTFRIED WILHELM LEIBNIZ der euklidischen Geometrie geben eine allgemeine Formel an, welche erlaubt, in der Ebene bzw. im Raum für einen gegebenen Punkt und ein gegebenes Vieleck (Dreieck bzw. Tetraeder) die Abstände des Punktes von den Eckpunkten in Beziehung zu setzen zu den Abständen der Eckpunkte vom Schwerpunkt des Vielecks.

Schwerpunktsatz von Leibniz für das Dreieck $\Delta =\Delta _{ABC}$
$a^{2}+b^{2}+c^{2}=3\cdot d^{2}+e^{2}+f^{2}+g^{2}$

Schwerpunktsatz von Leibniz für den Tetraeder $A,B,C,D$
$a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=4\cdot e^{2}+f^{2}+g^{2}+h^{2}+i^{2}$

Im Einzelnen gilt dabei für einen beliebigen Punkt $X$ in der Ebene bzw. im Raum:

(1) Ist $P$ der geometrische Schwerpunkt eines Dreiecks mit den Eckpunkten $A,B,C$, so ist

$|A-X|^{2}+|B-X|^{2}+|C-X|^{2}=3\cdot |P-X|^{2}+|A-P|^{2}+|B-P|^{2}+|C-P|^{2}$   .

(2) Ist $P$ der geometrische Schwerpunkt eines Tetraeders mit den Eckpunkten $A,B,C,D$, so ist

$|A-X|^{2}+|B-X|^{2}+|C-X|^{2}+|D-X|^{2}=4\cdot |P-X|^{2}+|A-P|^{2}+|B-P|^{2}+|C-P|^{2}+|D-P|^{2}$   .

Die beiden Schwerpunktsätze erlauben eine naheliegende Verallgemeinerung, welche in jedem reellen Skalarproduktraum und insbesondere in jedem reellen Hilbertraum ${\mathcal {H}}$ Gültigkeit hat. Wie sich zeigt, beruht diese Verallgemeinerung wesentlich auf der folgenden binomische Identitätsgleichung:

$|X-Y|^{2}=|X|^{2}-2\cdot \langle X\;,\;Y\rangle +|Y|^{2}\;\;(X,Y\in {\mathcal {H}})$

Formulierung der Verallgemeinerung

Für eine natürliche Zahl $n$ seien in einem reellen Skalarproduktraum ${\mathcal {H}}$   $n+2$ Punkte $A_{1},\ldots ,A_{n},P,X$ gegeben.

Dabei habe der Punkt $P$ in Bezug auf die Punkte $A_{j}\;(j=1,\ldots ,n)$ die affine Darstellung

$P=\sum _{j=1}^{n}{{\alpha }_{j}A_{j}}$

mit

${\alpha }_{j}\in \mathbb {R} \;(j=1,\ldots ,n)$

und

$\sum _{j=1}^{n}{{\alpha }_{j}}=1$   .

Dann gilt die Identität :

(1) $\sum _{j=1}^{n}{{\alpha }_{j}\cdot |A_{j}-X|^{2}}-|P-X|^{2}=\sum _{j=1}^{n}{{\alpha }_{j}\cdot |A_{j}-P|^{2}}$

Ist insbesondere $P$ der geometrische Schwerpunkt der Punkte $A_{j}$,

ist also

$P={\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}{A_{j}}$   ,

so gilt sogar

(2) $\sum _{j=1}^{n}{|A_{j}-X|^{2}}=n\cdot |P-X|^{2}+\sum _{j=1}^{n}|A_{j}-P|^{2}=\sum _{j=1}^{n}{\bigl (}|P-X|^{2}+|A_{j}-P|^{2}{\bigr )}$   .

Beweis

Da die Behauptung translationsinvariant ist, kann man annehmen, dass $X=\mathbf {0}$ ist.

Da aus zudem (2) offenbar unmittelbar als Anwendung von (1) folgt, ist demnach allein zu zeigen:

(1*) $\sum _{j=1}^{n}{\alpha }_{j}\cdot |A_{j}|^{2}-|P|^{2}=\sum _{j=1}^{n}{\alpha }_{j}\cdot |A_{j}-P|^{2}$

Dies tut man, indem man von rechts nach links umformt.

So erhält man:

${\begin{aligned}\sum _{j=1}^{n}{\alpha }_{j}\cdot |A_{j}-P|^{2}&=\sum _{j=1}^{n}{\alpha }_{j}\cdot {\bigl (}|A_{j}|^{2}-2\cdot \langle A_{j}\;,\;P\rangle +|P|^{2}{\bigr )}\\&=\sum _{j=1}^{n}{\alpha }_{j}\cdot |A_{j}|^{2}-2\cdot \sum _{j=1}^{n}{\alpha }_{j}\cdot \langle A_{j}\;,\;P\rangle +\sum _{j=1}^{n}{\alpha }_{j}\cdot |P|^{2}\\&=\sum _{j=1}^{n}{\alpha }_{j}\cdot |A_{j}|^{2}-2\cdot \langle \sum _{j=1}^{n}{\alpha }_{j}\cdot A_{j}\;,\;P\rangle +1\cdot |P|^{2}\\&=\sum _{j=1}^{n}{\alpha }_{j}\cdot |A_{j}|^{2}-2\cdot \langle P\;,\;P\rangle +1\cdot |P|^{2}\\&=\sum _{j=1}^{n}{\alpha }_{j}\cdot |A_{j}|^{2}-2\cdot |P|^{2}+1\cdot |P|^{2}\\&=\sum _{j=1}^{n}{\alpha }_{j}\cdot |A_{j}|^{2}-|P|^{2}\\\end{aligned}}$

Hintergrundliteratur

• Heinrich Dörrie: Mathematische Miniaturen. Zweiter unveränderter Nachdruck der Ausgabe von 1943. Sändig (u.a.), Wiesbaden 1979, ISBN 3-500-21150-X. 
• Max Koecher, Aloys Krieg: Ebene Geometrie. 2., neu bearbeitete und erweiterte Auflage. Springer Verlag, Berlin (u.a.) 2000, ISBN 3-540-67643-0.