Beweisarchiv: Geometrie: Planimetrie: Regelmäßige Vielecke: Dreieck

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Rechtwinkliges Dreieck: Satz des Pythagoras

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Viereck: Flächenformel von Bretschneider

Inzidenzgeometrie ·

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Trigonometrie

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Trigonometriesätze: Sinussatz · Kosinussatz · Neue Folgerungen aus dem Projektionssatz der Dreiecksgeometrie

Trigonometrie in der komplexen Ebene: Tangens und Kotangens in rechtwinkligen Dreiecken aus komplexen Zahlen

Umkreisradius Bearbeiten

Nach Pythagoras ist

(1) $r_{i}^{2}=r_{o}^{2}-\left({\frac {a}{2}}\right)^{2}$

und

(2) $a^{2}=\left({\frac {a}{2}}\right)^{2}+\left({r_{o}+r_{i}}\right)^{2}$

(2a) ${\frac {3}{4}}a^{2}=r_{o}^{2}+2r_{o}r_{i}+r_{i}^{2}$

(1) in (2a) eingesetzt ergibt

(3) ${\frac {3}{4}}a^{2}=r_{o}^{2}+2r_{o}{\sqrt {r_{o}^{2}-\left({\frac {a}{2}}\right)^{2}}}+r_{o}^{2}-\left({\frac {a}{2}}\right)^{2}$

(3a) $a^{2}-2r_{o}^{2}=2r_{o}{\sqrt {r_{o}^{2}-\left({\frac {a}{2}}\right)^{2}}}$

(3a) quadriert

(4) $a^{4}-4a^{2}r_{o}^{2}+4r_{o}^{4}=4r_{o}^{4}-a^{2}r_{o}^{2}$

(4a) $a^{4}=3a^{2}r_{o}^{2}$

(4b) $r_{o}^{2}={\frac {a^{2}}{3}}$

(4c) $r_{o}={\frac {a}{\sqrt {3}}}={\frac {a{\sqrt {3}}}{3}}$ Umkreisradius

Inkreisradius Bearbeiten

(4c) in (1) eingesetzt

(5) $r_{i}^{2}={\frac {a^{2}}{3}}-{\frac {a^{2}}{4}}={\frac {a^{2}}{12}}$

(5a) $r_{i}={\frac {a}{\sqrt {12}}}={\frac {a{\sqrt {3}}}{6}}$ Inkreisradius

Die Division von (4c) durch (5a) zeigt

(5b) ${\frac {r_{o}}{r_{i}}}=2$

Höhe Bearbeiten

(6) $h=r_{o}+r_{i}\,=3r_{i}$

und nach Pythagoras

(7) $h^{2}=a^{2}-\left({\frac {a}{2}}\right)^{2}={\frac {3}{4}}a^{2}$

(7a) $h={\frac {a}{2}}{\sqrt {3}}$ Höhe

Fläche Bearbeiten

(8) $A={\frac {ah}{2}}$

(7a) eingesetzt

(8a) $A={\frac {a^{2}}{4}}{\sqrt {3}}$ Fläche

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