Beweisarchiv: Mengenlehre: Ordinalzahlen: Regularität

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Sätze die in ZF Äquivalent zum Auswahlaxiom sind: Alternative Darstellung des Auswahlaxioms · Wohlordnungssatz · Lemma von Zorn

Satz

Ordinalzahlen enthalten sich nicht selbst als Element.

Bemerkung: Dies wäre eine triviale Folgerung aus dem Fundierungsaxiom, welches hier aber nicht vorausgesetzt wird.

Beweis

Sei $x$ Ordinalzahl. Für jedes Element $a\in x$ gilt per Wohlordnung von $x$ genau eine der drei Beziehungen $a\in a$, $a=a$, $a\ni a$, wegen $a=a$ also $a\notin a$. Aus der Annahme $x\in x$ ergibt sich daher der Widerspruch $x\notin x$.