Beweisarchiv: Mengenlehre: Injektivität Surjektivität Bijektivität: Linksinverse

Beweisarchiv: Mengenlehre

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Sätze die in ZF Äquivalent zum Auswahlaxiom sind: Alternative Darstellung des Auswahlaxioms · Wohlordnungssatz · Lemma von Zorn

Injektivität und linksinverse Abbildung

Voraussetzung

$f\colon A\to B$ sei eine Abbildung und $A\neq \varnothing$.

Behauptung

$f\$ ist injektiv $\Longleftrightarrow$ $f\$ hat eine Linksinverse $g\$.

(Dabei heißt $g\colon B\to A$ eine Linksinverse zu $f\$, wenn $g\circ f=\mathrm {id} _{A}$ gilt.)

Beweis

• $\Rightarrow$ : $f\$ werde als injektiv vorausgesetzt. $a\$ sei ein fest gewähltes Element aus dem (nichtleeren) Definitionsbereich $A\$. Die gesuchte linksinverse Abbildung $g\colon B\to A$ wird nun definiert durch

  $g(y):=x\$, falls $y\$ in der Bildmenge von $f\$ liegt und $f(x)=y\$ ist (da $f\$ injektiv ist, ergibt sich $x\$ eindeutig aus $y\$).

  $g(y):=a\$, falls $y\$ nicht in der Bildmenge von $f\$ liegt.

• $\Leftarrow$ : Es gelte $g\circ f=\mathrm {id} _{A}$. Nun seien $x,y\in A$ mit $f(x)=f(y)\$ gegeben. Wir müssen $x=y\$ zeigen.
  Dazu wird $g\$ auf die Gleichung $f(x)=f(y)\$ angewendet, was $g(f(x))=g(f(y))\$ ergibt. Mit der Eigenschaft der Linksinversen haben wir $\mathrm {id} _{A}(x)=\mathrm {id} _{A}(y)\$, also $x=y\$.

Wikipedia-Verweise

Bildmenge - Identische Abbildung - Injektivität - Komposition

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