Beweisarchiv: Mengenlehre: Injektivität Surjektivität Bijektivität: Rechtskürzbarkeit

Beweisarchiv: Mengenlehre

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Surjektivität und Rechtskürzbarkeit

Voraussetzung

$f\colon A\to B$ sei eine Abbildung.

Behauptung

$f\$ ist surjektiv $\Longleftrightarrow$ $f\$ ist rechtskürzbar.

(Dabei heißt $f\$ rechtskürzbar, wenn für beliebige Abbildungen $g,h\colon B\to C$ aus $g\circ f=h\circ f$ schon $g=h\$ folgt.)

Beweis

• $\Rightarrow$ : $f\$ werde als surjektiv vorausgesetzt und $g,h\colon B\to C$ seien beliebige Abbildungen mit $g\circ f=h\circ f$. Wir müssen $g=h\$ zeigen.
  Dazu sei $b\in B$ beliebig. Da $f\$ surjektiv ist, gibt es (mindestens) ein Element $a\in A$ mit $f(a)=b\$. Wegen $g\circ f=h\circ f$ gilt $g(f(a))=h(f(a))\$, also $g(b)=h(b)\$. Damit ist $g=h\$ bewiesen.
• $\Leftarrow$ : $f\$ werde als rechtskürzbar vorausgesetzt. Nun sei ein beliebiges Element $b\in B$ gegeben. Wir nehmen an, dass $b\$ nicht in der Bildmenge von $f\$ liegt und werden diese Annahme zum Widerspruch führen
  Dazu werden zwei Abbildungen $g,h\colon B\to \{0,1\}$ folgendermaßen definiert:
  $g(x):=1\$,
  $h(x):=1\$ für $x\neq b$ und $h(b):=0\$.
  Da $b\$ ja nicht im Bild von $f\$ liegt, gilt $g\circ f=h\circ f$. Aus der Rechtskürzbarkeit von $f\$ folgt $g=h\$, was aber nicht stimmt. Also war die Annahme, dass $b\$ nicht im Bild von $f\$ liegt falsch, und $f\$ ist als surjektiv nachgewiesen.

Wikipedia-Verweise

Bildmenge - Komposition - Surjektivität

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