Beweisarchiv: Mengenlehre: Deskriptive Mengenlehre: Satz von Young

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SatzBearbeiten

  sei die Menge aller  -Mengen Untermengen von  ,

  - die Menge der Funktionen:

 ,

und   die Menge der Stetigkeitsstellen von  . Es gilt

 .

BeweisBearbeiten

Zunächst werden wir die Inklusion   zeigen.

Sei  .

  sei für jedes   eine solche Umgebung von   so dass  

Die Mengen   und   seien wie folgt definiert

 

und

 

  sind offene Mengen, folglich die Mengen   auch und   ist borelsche  -Menge. Wir werden zeigen, dass  .

Aus

 

sieht man, dass

 

In die andere Richtung:

Aus   folgt   und

 

Man nehme an, dass  . Dann ist   für jedes   und für jedes   existiert eine solche Umgebung   von  , so dass   und  

Nach der Definition von  

 

also ist  

Damit haben wir   und   bewiesen. Es bleibt noch   zu zeigen.

Sei

 

und

 

sei die Darstellung von   als Durchschnitt der offenen Mengen  . Sei ausserdem   und  

Es ist leicht ersichtlich, dass

 

genau so wie

 

für jedes  , folglich

 .

Wir definieren die Funktionen   für jede offene Menge   sowie die Funktion   wie folgt

 

und

 

Wir werden zeigen, dass  , was auch bedeuten würde, dass  .

Zuerst werden wir   beweisen.

Falls  , dann

 

Die Funktion   ist konstant und deshalb stetig. Also ist   in   stetig.

Falls

 

dann gilt für jede  

 

sowie

 

  ist daher in   unstetig.

Falls

 

dann

 

Es gilt

 

und

 

Also ist   auch in diesem Fall in   unstetig.

Jetzt werden wir uns die Funktion   genauer anschauen. Die Reihe

 

wird von der konvergenten Reihe

 

majoriert und ist daher gleichmäßig konvergent. Da   in   stetige Funktionen sind und weil (#) gleichmäßig stetig ist, muss   in   auch stetig sein spricht   Den Beweis werden wir abschliessen, in dem wir zeigen werden, dass   für jede   unstetig ist.

Sei   und  

Dann gilt

 

Falls

 

dann

  für jede  

und daher

 

wobei  

Für   ist

 

Es gilt also  .

Falls

 

dann gilt

 

und

 ,

aber

 

Auch in diesem Fall haben wir also

 

gezeigt.

 

Wikipedia-VerweiseBearbeiten

Satz von Young - Borelsche σ-Algebra