Beweisarchiv: Mengenlehre: Deskriptive Mengenlehre: Satz von Young

Beweisarchiv: Mengenlehre

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  sei die Menge aller  -Teilmengen von  ,

  sei die Menge der Funktionen

 ,

und   die Menge der Stetigkeitsstellen von  . Es gilt

 .

Zunächst werden wir die Inklusion   zeigen.

Sei  .

  sei für jedes   eine offene Umgebung von   so dass  .

Die Mengen   und   seien wie folgt definiert:

 

und

 .

  sind offene Mengen, folglich die Mengen   auch ( ) und   ist borelsche  -Menge. Wir werden zeigen, dass   gilt.

Aus

 

sieht man, dass

 .

In die andere Richtung:

Aus   folgt   und

 

Man nehme an, dass  . Dann ist   für jedes   und für jedes   existiert eine solche Umgebung   von  , dass   und  .

Nach der Definition von   gilt

 ,

also ist  .

Damit haben wir   und   bewiesen. Es bleibt noch   zu zeigen.

Sei

 

und sei

 

die Darstellung von   als Durchschnitt der offenen Mengen  . Seien außerdem   und  .

Es ist leicht ersichtlich, dass

 

genau so wie

 

für jedes  , folglich

 .

Wir definieren die Funktionen   für jede offene Menge   sowie die Funktion   wie folgt:

 

und

 .

Wir werden zeigen, dass  , was auch bedeuten würde, dass  .

Zuerst werden wir   beweisen.

Falls  , dann

 .

Die Funktion   ist konstant und deshalb stetig. Also ist   in   stetig.

Falls

 ,

dann gelten für jedes  

 

sowie

 .

  ist daher in   unstetig.

Falls

 ,

dann

 .

Es gelten

 

und

 .

Also ist   auch in diesem Fall in   unstetig.

Jetzt werden wir uns die Funktion   genauer anschauen. Die Reihe

 

wird von der konvergenten Reihe

 

majoriert und ist daher gleichmäßig konvergent. Da   in   stetige Funktionen sind ( ) und weil (#) gleichmäßig stetig ist, muss   in   auch stetig sein, sprich  . Den Beweis werden wir abschließen, indem wir zeigen werden, dass   für jedes   unstetig ist.

Seien   und  .

Dann gilt

 .

Falls

 ,

dann

  für jedes  

und daher

 ,

wobei  .

Für   ist

 .

Es gilt also  .

Falls

 ,

dann gelten

 

und

 ,

aber

 .

Auch in diesem Fall haben wir also

 

gezeigt.

 

Wikipedia-Verweise

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Satz von Young - Borelsche σ-Algebra