Zunächst werden wir die Inklusion { N ( f ) } f ∈ F ⊂ G {\displaystyle \{N(f)\}_{f\in {\mathfrak {F}}}\subset {\mathfrak {G}}} zeigen.
Sei f ∈ F {\displaystyle f\in {\mathfrak {F}}} .
△ k ( x ) {\displaystyle \triangle _{k}(x)} sei für jedes x ∈ N ( f ) {\displaystyle x\in N(f)} eine offene Umgebung von x , {\displaystyle x,\,} so dass
∀ ξ ( ξ ∈ △ k ( x ) ⇒ | f ( ξ ) − f ( x ) | < 1 2 k ) {\displaystyle \forall \xi \left(\xi \in \triangle _{k}(x)\Rightarrow |f(\xi )-f(x)|<{\frac {1}{2k}}\right)} .
Die Mengen G k {\displaystyle G_{k}} und G {\displaystyle G} seien wie folgt definiert:
G k = ⋃ x ∈ N ( f ) △ k ( x ) {\displaystyle G_{k}=\bigcup _{x\in N(f)}\triangle _{k}(x)}
und
G = ⋂ k = 1 ∞ G k {\displaystyle G=\bigcap _{k=1}^{\infty }G_{k}} .
△ k ( x ) {\displaystyle \triangle _{k}(x)} sind offene Mengen, folglich die Mengen G k {\displaystyle G_{k}} auch (k ∈ N {\displaystyle k\in \mathbb {N} } ) und G {\displaystyle G} ist borelsche G δ {\displaystyle G_{\delta }} -Menge. Wir werden zeigen, dass N ( f ) = G {\displaystyle N(f)=G\,} gilt.
Aus
∀ x ∀ k ( x ∈ N ( f ) ⇒ x ∈ △ k ( x ) ) ⇒ ∀ x ∀ k ( x ∈ N ( f ) ⇒ x ∈ G k ) ⇒ ∀ x ( x ∈ N ( f ) ⇒ x ∈ G ) {\displaystyle \forall x\forall k(x\in N(f)\Rightarrow x\in \triangle _{k}(x))\Rightarrow \forall x\forall k\left(x\in N(f)\Rightarrow x\in G_{k}\right)\Rightarrow \forall x\ (x\in N(f)\Rightarrow x\in G)} sieht man, dass
N ( f ) ⊂ G {\displaystyle N(f)\subset G} .In die andere Richtung:
Aus y ∈ G {\displaystyle y\in G} folgt ∀ k ( y ∈ G k ) {\displaystyle \forall k\ (y\in G_{k})} und
∀ k ∃ x k ( x k ∈ N ( f ) ⇒ y ∈ △ k ( x k ) ) . {\displaystyle \forall k\exists x_{k}(x_{k}\in N(f)\Rightarrow y\in \triangle _{k}(x_{k})).} Man nehme an, dass y ∉ N ( f ) {\displaystyle y\notin N(f)} . Dann ist y ≠ x k {\displaystyle y\neq x_{k}} für jedes k {\displaystyle k} und für jedes k {\displaystyle k} existiert eine solche Umgebung △ k ⋆ ( y ) {\displaystyle \triangle _{k}^{\star }(y)} von y {\displaystyle y} , dass x k ∉ △ k ⋆ ( y ) {\displaystyle x_{k}\notin \triangle _{k}^{\star }(y)} und △ k ⋆ ( y ) ⊂ △ k ( x k ) {\displaystyle \triangle _{k}^{\star }(y)\subset \triangle _{k}(x_{k})} .
Nach der Definition von △ k ( x ) {\displaystyle \triangle _{k}(x)} gilt
∀ k ∀ ξ ( ξ ∈ △ k ⋆ ( y ) ⇒ | f ( y ) − f ( ξ ) | < 1 k ) {\displaystyle \forall k\forall \xi \left(\xi \in \triangle _{k}^{\star }(y)\Rightarrow |f(y)-f(\xi )|<{\frac {1}{k}}\right)} ,also ist y ∈ N ( f ) {\displaystyle y\in N(f)} .
Damit haben wir N ( f ) ∈ G {\displaystyle N(f)\in {\mathfrak {G}}} und { N ( f ) } f ∈ F ⊂ G {\displaystyle \{N(f)\}_{f\in {\mathfrak {F}}}\subset {\mathfrak {G}}} bewiesen. Es bleibt noch { N ( f ) } f ∈ F ⊃ G {\displaystyle \{N(f)\}_{f\in {\mathfrak {F}}}\supset {\mathfrak {G}}} zu zeigen.
Sei
G ∈ G {\displaystyle G\in {\mathfrak {G}}} und sei
G = ⋂ n = 1 ∞ G n {\displaystyle G=\bigcap _{n=1}^{\infty }{G_{n}}} die Darstellung von G {\displaystyle G} als Durchschnitt der offenen Mengen { G n } n ∈ N {\displaystyle \{G_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }} . Seien außerdem H 1 = G 1 {\displaystyle H_{1}=G_{1}\,} und H i = H i − 1 ∩ G i {\displaystyle H_{i}=H_{i-1}\cap G_{i}} .
Es ist leicht ersichtlich, dass
∀ n ∈ N ( H n ⊃ H n + 1 ) {\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} (H_{n}\supset H_{n+1})} genau so wie
⋂ n = 1 m G n = ⋂ n = 1 m H n {\displaystyle \bigcap _{n=1}^{m}G_{n}=\bigcap _{n=1}^{m}H_{n}} für jedes m {\displaystyle m} , folglich
G = ⋂ n = 1 ∞ H n {\displaystyle G=\bigcap _{n=1}^{\infty }H_{n}} .Wir definieren die Funktionen f H : R → R {\displaystyle f_{H}\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} } für jede offene Menge H {\displaystyle H} sowie die Funktion s : R → R {\displaystyle s\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} } wie folgt:
f H ( x ) = { 0 , x ∈ H ∪ ( R ∖ ( H ¯ ∪ Q ) ) 1 , x ∈ ( H ¯ ∖ H ) ∪ ( Q ∩ ( R ∖ H ¯ ) ) {\displaystyle f_{H}(x)={\begin{cases}0,&x\in H\cup (\mathbb {R} \setminus ({\overline {H}}\cup \mathbb {Q} ))\\1,&x\in ({\overline {H}}\setminus H)\cup (\mathbb {Q} \cap (\mathbb {R} \setminus {\overline {H}}))\end{cases}}} und
s ( x ) = ∑ n = 1 ∞ f H n ( x ) 3 n {\displaystyle s(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f_{H_{n}}(x)}{3^{n}}}} .Wir werden zeigen, dass N ( s ) = G {\displaystyle N(s)=G\,} , was auch bedeuten würde, dass G ∈ { N ( f ) } f ∈ F {\displaystyle G\in \{N(f)\}_{f\in {\mathfrak {F}}}} .
Zuerst werden wir N ( f H ) = H {\displaystyle N(f_{H})=H\,} beweisen.
Falls x ∈ H {\displaystyle x\in H} , dann
∃ ε ( x ) > 0 △ ( x ) = { y : | y − x | < ε ( x ) } ⊂ H {\displaystyle \exists \varepsilon (x)>0\ \triangle (x)=\{y:|y-x|<\varepsilon (x)\}\subset H} .Die Funktion f H | △ ( x ) {\displaystyle f_{H}|_{\triangle (x)}\,} ist konstant und deshalb stetig. Also ist f H {\displaystyle f_{H}\,} in x {\displaystyle x\,} stetig.
Falls
x ∈ H ¯ ∖ H {\displaystyle x\in {\overline {H}}\setminus H} ,dann gelten für jedes ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0}
H ∩ { y : | y − x | < ε } ≠ ∅ {\displaystyle H\cap \{y:|y-x|<\varepsilon \}\neq \emptyset } sowie
∀ z ( ( z ∈ H ∩ { y : | y − x | < ε } ≠ ∅ ) ⇒ ( | f ( x ) − f ( z ) | = 1 ) ) {\displaystyle \forall z((z\in H\cap \{y:|y-x|<\varepsilon \}\neq \emptyset )\Rightarrow (|f(x)-f(z)|=1))} .f H {\displaystyle f_{H}\,} ist daher in x {\displaystyle x\,} unstetig.
Falls
x ∈ R ∖ H ¯ {\displaystyle x\in \mathbb {R} \setminus {\overline {H}}} ,dann
∃ ε ( x ) > 0 △ ( x ) = { y : | y − x | < ε ( x ) } ⊂ R ∖ H ¯ {\displaystyle \exists \varepsilon (x)>0\ \triangle (x)=\{y:|y-x|<\varepsilon (x)\}\subset \mathbb {R} \setminus {\overline {H}}} .Es gelten
△ ( x ) ∩ ( Q ∩ ( R ∖ H ¯ ) ) ≠ ∅ {\displaystyle \triangle (x)\cap (\mathbb {Q} \cap (\mathbb {R} \setminus {\overline {H}}))\neq \emptyset } und
△ ( x ) ∩ ( R ∖ ( H ¯ ∪ Q ) ) ≠ ∅ {\displaystyle \triangle (x)\cap (\mathbb {R} \setminus ({\overline {H}}\cup \mathbb {Q} ))\neq \emptyset } .Also ist f H {\displaystyle f_{H}\,} auch in diesem Fall in x {\displaystyle x\,} unstetig.
Jetzt werden wir uns die Funktion s {\displaystyle s} genauer anschauen. Die Reihe
∑ n = 1 ∞ f H n ( x ) 3 n ( # ) {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f_{H_{n}}(x)}{3^{n}}}\qquad (\#)} wird von der konvergenten Reihe
∑ n = 1 ∞ 1 3 n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{3^{n}}}} majoriert und ist daher gleichmäßig konvergent. Da f H n {\displaystyle f_{H_{n}}} in G {\displaystyle G\,} stetige Funktionen sind (n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } ) und weil (#) gleichmäßig stetig ist, muss s {\displaystyle s\,} in G {\displaystyle G\,} auch stetig sein, sprich N ( s ) ⊃ G {\displaystyle N(s)\supset G} . Den Beweis werden wir abschließen, indem wir zeigen werden, dass s {\displaystyle s\,} für jedes x ∈ R ∖ G {\displaystyle x\in \mathbb {R} \setminus G} unstetig ist.
Seien x ∉ G {\displaystyle x\notin G} und m := min { n ∈ N : x ∉ H n } {\displaystyle m:=\min\{n\in \mathbb {N} :x\notin H_{n}\}} .
Dann gilt
s ( x ) = ∑ n = m ∞ f H n ( x ) 3 n {\displaystyle s(x)=\sum _{n=m}^{\infty }{\frac {f_{H_{n}}(x)}{3^{n}}}} .Falls
x ∈ R ∖ H m ¯ {\displaystyle x\in \mathbb {R} \setminus {\overline {H_{m}}}} ,dann
x ∈ R ∖ H n ¯ {\displaystyle x\in \mathbb {R} \setminus {\overline {H_{n}}}} für jedes n ≥ m {\displaystyle n\geq m} und daher
∃ δ ∀ n ( n ≥ m ⇒ △ δ ( x ) ⊂ R ∖ H n ¯ ) {\displaystyle \exists \delta \forall n(n\geq m\Rightarrow \triangle _{\delta }(x)\subset \mathbb {R} \setminus {\overline {H_{n}}})} ,wobei △ δ ( x ) := { y : | y − x | < δ } {\displaystyle \triangle _{\delta }(x):=\{y:|y-x|<\delta \}} .
Für y ∈ △ δ ( x ) {\displaystyle y\in \triangle _{\delta }(x)} ist
s ( y ) = { 0 , y ∈ R ∖ Q ∑ n = m ∞ 1 3 n > 0 , y ∈ Q {\displaystyle s(y)={\begin{cases}0,&y\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} \\\sum _{n=m}^{\infty }{\frac {1}{3^{n}}}>0,&y\in \mathbb {Q} \end{cases}}} .Es gilt also x ∉ N ( s ) {\displaystyle x\notin N(s)} .
Falls
x ∈ H m ¯ ∖ H m {\displaystyle x\in {\overline {H_{m}}}\setminus H_{m}} ,dann gelten
∀ δ > 0 △ δ ( x ) ∩ H m ≠ ∅ {\displaystyle \forall \delta >0\ \triangle _{\delta }(x)\cap H_{m}\neq \emptyset } und
∀ y ( y ∈ △ δ ( x ) ∩ H m ⇒ s ( y ) ≤ ∑ n = m + 1 ∞ 1 3 n < 1 3 m ) {\displaystyle \forall y\left(y\in \triangle _{\delta }(x)\cap H_{m}\Rightarrow s(y)\leq \sum _{n=m+1}^{\infty }{\frac {1}{3^{n}}}<{\frac {1}{3^{m}}}\right)} ,aber
s ( x ) ≥ f H m ( x ) 3 m = 1 3 m {\displaystyle s(x)\geq {\frac {f_{H_{m}}(x)}{3^{m}}}={\frac {1}{3^{m}}}} .Auch in diesem Fall haben wir also
x ∉ N ( s ) {\displaystyle x\notin N(s)} gezeigt.
◻ {\displaystyle \Box }