Zunächst werden wir die Inklusion
{
N
(
f
)
}
f
∈
F
⊂
G
{\displaystyle \{N(f)\}_{f\in {\mathfrak {F}}}\subset {\mathfrak {G}}}
zeigen.
Sei
f
∈
F
{\displaystyle f\in {\mathfrak {F}}}
.
△
k
(
x
)
{\displaystyle \triangle _{k}(x)}
sei für jedes
x
∈
N
(
f
)
{\displaystyle x\in N(f)}
eine offene Umgebung von
x
,
{\displaystyle x,\,}
so dass
∀
ξ
(
ξ
∈
△
k
(
x
)
⇒
|
f
(
ξ
)
−
f
(
x
)
|
<
1
2
k
)
{\displaystyle \forall \xi \left(\xi \in \triangle _{k}(x)\Rightarrow |f(\xi )-f(x)|<{\frac {1}{2k}}\right)}
.
Die Mengen
G
k
{\displaystyle G_{k}}
und
G
{\displaystyle G}
seien wie folgt definiert:
G
k
=
⋃
x
∈
N
(
f
)
△
k
(
x
)
{\displaystyle G_{k}=\bigcup _{x\in N(f)}\triangle _{k}(x)}
und
G
=
⋂
k
=
1
∞
G
k
{\displaystyle G=\bigcap _{k=1}^{\infty }G_{k}}
.
△
k
(
x
)
{\displaystyle \triangle _{k}(x)}
sind offene Mengen, folglich die Mengen
G
k
{\displaystyle G_{k}}
auch (
k
∈
N
{\displaystyle k\in \mathbb {N} }
) und
G
{\displaystyle G}
ist borelsche
G
δ
{\displaystyle G_{\delta }}
-Menge. Wir werden zeigen, dass
N
(
f
)
=
G
{\displaystyle N(f)=G\,}
gilt.
Aus
∀
x
∀
k
(
x
∈
N
(
f
)
⇒
x
∈
△
k
(
x
)
)
⇒
∀
x
∀
k
(
x
∈
N
(
f
)
⇒
x
∈
G
k
)
⇒
∀
x
(
x
∈
N
(
f
)
⇒
x
∈
G
)
{\displaystyle \forall x\forall k(x\in N(f)\Rightarrow x\in \triangle _{k}(x))\Rightarrow \forall x\forall k\left(x\in N(f)\Rightarrow x\in G_{k}\right)\Rightarrow \forall x\ (x\in N(f)\Rightarrow x\in G)}
sieht man, dass
N
(
f
)
⊂
G
{\displaystyle N(f)\subset G}
.
In die andere Richtung:
Aus
y
∈
G
{\displaystyle y\in G}
folgt
∀
k
(
y
∈
G
k
)
{\displaystyle \forall k\ (y\in G_{k})}
und
∀
k
∃
x
k
(
x
k
∈
N
(
f
)
⇒
y
∈
△
k
(
x
k
)
)
.
{\displaystyle \forall k\exists x_{k}(x_{k}\in N(f)\Rightarrow y\in \triangle _{k}(x_{k})).}
Man nehme an, dass
y
∉
N
(
f
)
{\displaystyle y\notin N(f)}
. Dann ist
y
≠
x
k
{\displaystyle y\neq x_{k}}
für jedes
k
{\displaystyle k}
und für jedes
k
{\displaystyle k}
existiert eine solche Umgebung
△
k
⋆
(
y
)
{\displaystyle \triangle _{k}^{\star }(y)}
von
y
{\displaystyle y}
, dass
x
k
∉
△
k
⋆
(
y
)
{\displaystyle x_{k}\notin \triangle _{k}^{\star }(y)}
und
△
k
⋆
(
y
)
⊂
△
k
(
x
k
)
{\displaystyle \triangle _{k}^{\star }(y)\subset \triangle _{k}(x_{k})}
.
Nach der Definition von
△
k
(
x
)
{\displaystyle \triangle _{k}(x)}
gilt
∀
k
∀
ξ
(
ξ
∈
△
k
⋆
(
y
)
⇒
|
f
(
y
)
−
f
(
ξ
)
|
<
1
k
)
{\displaystyle \forall k\forall \xi \left(\xi \in \triangle _{k}^{\star }(y)\Rightarrow |f(y)-f(\xi )|<{\frac {1}{k}}\right)}
,
also ist
y
∈
N
(
f
)
{\displaystyle y\in N(f)}
.
Damit haben wir
N
(
f
)
∈
G
{\displaystyle N(f)\in {\mathfrak {G}}}
und
{
N
(
f
)
}
f
∈
F
⊂
G
{\displaystyle \{N(f)\}_{f\in {\mathfrak {F}}}\subset {\mathfrak {G}}}
bewiesen. Es bleibt noch
{
N
(
f
)
}
f
∈
F
⊃
G
{\displaystyle \{N(f)\}_{f\in {\mathfrak {F}}}\supset {\mathfrak {G}}}
zu zeigen.
Sei
G
∈
G
{\displaystyle G\in {\mathfrak {G}}}
und sei
G
=
⋂
n
=
1
∞
G
n
{\displaystyle G=\bigcap _{n=1}^{\infty }{G_{n}}}
die Darstellung von
G
{\displaystyle G}
als Durchschnitt der offenen Mengen
{
G
n
}
n
∈
N
{\displaystyle \{G_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}
. Seien außerdem
H
1
=
G
1
{\displaystyle H_{1}=G_{1}\,}
und
H
i
=
H
i
−
1
∩
G
i
{\displaystyle H_{i}=H_{i-1}\cap G_{i}}
.
Es ist leicht ersichtlich, dass
∀
n
∈
N
(
H
n
⊃
H
n
+
1
)
{\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} (H_{n}\supset H_{n+1})}
genau so wie
⋂
n
=
1
m
G
n
=
⋂
n
=
1
m
H
n
{\displaystyle \bigcap _{n=1}^{m}G_{n}=\bigcap _{n=1}^{m}H_{n}}
für jedes
m
{\displaystyle m}
, folglich
G
=
⋂
n
=
1
∞
H
n
{\displaystyle G=\bigcap _{n=1}^{\infty }H_{n}}
.
Wir definieren die Funktionen
f
H
:
R
→
R
{\displaystyle f_{H}\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }
für jede offene Menge
H
{\displaystyle H}
sowie die Funktion
s
:
R
→
R
{\displaystyle s\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }
wie folgt:
f
H
(
x
)
=
{
0
,
x
∈
H
∪
(
R
∖
(
H
¯
∪
Q
)
)
1
,
x
∈
(
H
¯
∖
H
)
∪
(
Q
∩
(
R
∖
H
¯
)
)
{\displaystyle f_{H}(x)={\begin{cases}0,&x\in H\cup (\mathbb {R} \setminus ({\overline {H}}\cup \mathbb {Q} ))\\1,&x\in ({\overline {H}}\setminus H)\cup (\mathbb {Q} \cap (\mathbb {R} \setminus {\overline {H}}))\end{cases}}}
und
s
(
x
)
=
∑
n
=
1
∞
f
H
n
(
x
)
3
n
{\displaystyle s(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f_{H_{n}}(x)}{3^{n}}}}
.
Wir werden zeigen, dass
N
(
s
)
=
G
{\displaystyle N(s)=G\,}
, was auch bedeuten würde, dass
G
∈
{
N
(
f
)
}
f
∈
F
{\displaystyle G\in \{N(f)\}_{f\in {\mathfrak {F}}}}
.
Zuerst werden wir
N
(
f
H
)
=
H
{\displaystyle N(f_{H})=H\,}
beweisen.
Falls
x
∈
H
{\displaystyle x\in H}
, dann
∃
ε
(
x
)
>
0
△
(
x
)
=
{
y
:
|
y
−
x
|
<
ε
(
x
)
}
⊂
H
{\displaystyle \exists \varepsilon (x)>0\ \triangle (x)=\{y:|y-x|<\varepsilon (x)\}\subset H}
.
Die Funktion
f
H
|
△
(
x
)
{\displaystyle f_{H}|_{\triangle (x)}\,}
ist konstant und deshalb stetig. Also ist
f
H
{\displaystyle f_{H}\,}
in
x
{\displaystyle x\,}
stetig.
Falls
x
∈
H
¯
∖
H
{\displaystyle x\in {\overline {H}}\setminus H}
,
dann gelten für jedes
ε
>
0
{\displaystyle \varepsilon >0}
H
∩
{
y
:
|
y
−
x
|
<
ε
}
≠
∅
{\displaystyle H\cap \{y:|y-x|<\varepsilon \}\neq \emptyset }
sowie
∀
z
(
(
z
∈
H
∩
{
y
:
|
y
−
x
|
<
ε
}
≠
∅
)
⇒
(
|
f
(
x
)
−
f
(
z
)
|
=
1
)
)
{\displaystyle \forall z((z\in H\cap \{y:|y-x|<\varepsilon \}\neq \emptyset )\Rightarrow (|f(x)-f(z)|=1))}
.
f
H
{\displaystyle f_{H}\,}
ist daher in
x
{\displaystyle x\,}
unstetig.
Falls
x
∈
R
∖
H
¯
{\displaystyle x\in \mathbb {R} \setminus {\overline {H}}}
,
dann
∃
ε
(
x
)
>
0
△
(
x
)
=
{
y
:
|
y
−
x
|
<
ε
(
x
)
}
⊂
R
∖
H
¯
{\displaystyle \exists \varepsilon (x)>0\ \triangle (x)=\{y:|y-x|<\varepsilon (x)\}\subset \mathbb {R} \setminus {\overline {H}}}
.
Es gelten
△
(
x
)
∩
(
Q
∩
(
R
∖
H
¯
)
)
≠
∅
{\displaystyle \triangle (x)\cap (\mathbb {Q} \cap (\mathbb {R} \setminus {\overline {H}}))\neq \emptyset }
und
△
(
x
)
∩
(
R
∖
(
H
¯
∪
Q
)
)
≠
∅
{\displaystyle \triangle (x)\cap (\mathbb {R} \setminus ({\overline {H}}\cup \mathbb {Q} ))\neq \emptyset }
.
Also ist
f
H
{\displaystyle f_{H}\,}
auch in diesem Fall in
x
{\displaystyle x\,}
unstetig.
Jetzt werden wir uns die Funktion
s
{\displaystyle s}
genauer anschauen. Die Reihe
∑
n
=
1
∞
f
H
n
(
x
)
3
n
(
#
)
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f_{H_{n}}(x)}{3^{n}}}\qquad (\#)}
wird von der konvergenten Reihe
∑
n
=
1
∞
1
3
n
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{3^{n}}}}
majoriert und ist daher gleichmäßig konvergent. Da
f
H
n
{\displaystyle f_{H_{n}}}
in
G
{\displaystyle G\,}
stetige Funktionen sind (
n
∈
N
{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
) und weil (#) gleichmäßig stetig ist, muss
s
{\displaystyle s\,}
in
G
{\displaystyle G\,}
auch stetig sein, sprich
N
(
s
)
⊃
G
{\displaystyle N(s)\supset G}
. Den Beweis werden wir abschließen, indem wir zeigen werden, dass
s
{\displaystyle s\,}
für jedes
x
∈
R
∖
G
{\displaystyle x\in \mathbb {R} \setminus G}
unstetig ist.
Seien
x
∉
G
{\displaystyle x\notin G}
und
m
:=
min
{
n
∈
N
:
x
∉
H
n
}
{\displaystyle m:=\min\{n\in \mathbb {N} :x\notin H_{n}\}}
.
Dann gilt
s
(
x
)
=
∑
n
=
m
∞
f
H
n
(
x
)
3
n
{\displaystyle s(x)=\sum _{n=m}^{\infty }{\frac {f_{H_{n}}(x)}{3^{n}}}}
.
Falls
x
∈
R
∖
H
m
¯
{\displaystyle x\in \mathbb {R} \setminus {\overline {H_{m}}}}
,
dann
x
∈
R
∖
H
n
¯
{\displaystyle x\in \mathbb {R} \setminus {\overline {H_{n}}}}
für jedes
n
≥
m
{\displaystyle n\geq m}
und daher
∃
δ
∀
n
(
n
≥
m
⇒
△
δ
(
x
)
⊂
R
∖
H
n
¯
)
{\displaystyle \exists \delta \forall n(n\geq m\Rightarrow \triangle _{\delta }(x)\subset \mathbb {R} \setminus {\overline {H_{n}}})}
,
wobei
△
δ
(
x
)
:=
{
y
:
|
y
−
x
|
<
δ
}
{\displaystyle \triangle _{\delta }(x):=\{y:|y-x|<\delta \}}
.
Für
y
∈
△
δ
(
x
)
{\displaystyle y\in \triangle _{\delta }(x)}
ist
s
(
y
)
=
{
0
,
y
∈
R
∖
Q
∑
n
=
m
∞
1
3
n
>
0
,
y
∈
Q
{\displaystyle s(y)={\begin{cases}0,&y\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} \\\sum _{n=m}^{\infty }{\frac {1}{3^{n}}}>0,&y\in \mathbb {Q} \end{cases}}}
.
Es gilt also
x
∉
N
(
s
)
{\displaystyle x\notin N(s)}
.
Falls
x
∈
H
m
¯
∖
H
m
{\displaystyle x\in {\overline {H_{m}}}\setminus H_{m}}
,
dann gelten
∀
δ
>
0
△
δ
(
x
)
∩
H
m
≠
∅
{\displaystyle \forall \delta >0\ \triangle _{\delta }(x)\cap H_{m}\neq \emptyset }
und
∀
y
(
y
∈
△
δ
(
x
)
∩
H
m
⇒
s
(
y
)
≤
∑
n
=
m
+
1
∞
1
3
n
<
1
3
m
)
{\displaystyle \forall y\left(y\in \triangle _{\delta }(x)\cap H_{m}\Rightarrow s(y)\leq \sum _{n=m+1}^{\infty }{\frac {1}{3^{n}}}<{\frac {1}{3^{m}}}\right)}
,
aber
s
(
x
)
≥
f
H
m
(
x
)
3
m
=
1
3
m
{\displaystyle s(x)\geq {\frac {f_{H_{m}}(x)}{3^{m}}}={\frac {1}{3^{m}}}}
.
Auch in diesem Fall haben wir also
x
∉
N
(
s
)
{\displaystyle x\notin N(s)}
gezeigt.
◻
{\displaystyle \Box }