Beweisarchiv: Mengenlehre: Ordinalzahlen: Vereinigung

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Sätze die in ZF Äquivalent zum Auswahlaxiom sind: Alternative Darstellung des Auswahlaxioms · Wohlordnungssatz · Lemma von Zorn

Satz

Ist $A$ eine Menge von Ordinalzahlen, so ist $\bigcup A$ eine Ordinalzahl.

Beweis

Verwendet wird

(1) Elemente von Ordinalzahlen sind Ordinalzahlen

(2) Wohlordnung der Klasse aller Ordinalzahlen

Sei $A$ eine Menge von Ordinalzahlen und $u=\bigcup A$. Aus $x\in y\in u$ folgt $x\in y\in z$ für eine Ordinalzahl $z\in A$. Dann ist auch $x\in z$, also auch $x\in u$. Mithin ist $u$ transitiv. Jedes Element von $u$ ist Element einer in $A$ liegenden Ordinalzahl und daher laut (1) wiederum eine Ordinalzahl. Als Menge von Ordinalzahlen ist $u$ laut (2) durch $\in$ wohlgeordnet. Folglich ist $u$ eine Ordinalzahl.