Beweisarchiv: Mengenlehre: Ordinalzahlen: Wohlordnung
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Satz
BearbeitenDie Klasse der Ordinalzahlen ist durch wohlgeordnet.
Beweis
BearbeitenVerwendet wird
- (1) Ordinalzahlen enthalten sich nicht selbst als Element
- (2) Durchschnitte von Ordinalzahlen sind Ordinalzahlen
Zu zeigen ist:
- Je zwei Ordinalzahlen sind vergleichbar, d.h. für Ordinalzahlen gilt entweder oder oder
- Seien zwei Ordinalzahlen. Falls und , so wegen der Transitivität von auch im Widerspruch zu (1). Falls und bzw. und , folgt direkt ebenfalls , also derselbe Widerspruch. Somit können zumindest nicht mehrere der Eigenschaften , , zugleich zutreffen.
- Falls folgt mit aus (2), dass oder . Somit ist die Trichotomiebedingung erfüllt.
- Jede nichtleere Klasse von Ordinalzahlen enthält ein -minimales Element
- Da nicht leer ist, gibt es eine Ordinalzahl . Wenn es kein mit gibt, ist bereits minimal. Ansonsten ist die Menge eine nichtleere Teilmenge von und enthält folglich ein minimales Element . Auch für jedes gilt oder , auf jeden Fall also . Insgesamt ist also auch minimales Element von .