Beweisarchiv: Mengenlehre: Ordinalzahlen: Wohlordnung

Beweisarchiv: Mengenlehre

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Ordinalzahlen: Ordinalzahlen enthalten sich nicht selbst als Element · Elemente von Ordinalzahlen sind Ordinalzahlen · Durchschnitte von Ordinalzahlen sind Ordinalzahlen · Wohlordnung der Klasse aller Ordinalzahlen · Ordinalzahlen bilden eine echte Klasse · Der Nachfolger einer Ordinalzahl ist Ordinalzahl · Vereinigungen von Ordinalzahlen sind Ordinalzahlen · Limes- und Nachfolgerzahlen · Äquivalenz verschiedener Definitionen
Sätze die in ZF Äquivalent zum Auswahlaxiom sind: Alternative Darstellung des Auswahlaxioms · Wohlordnungssatz · Lemma von Zorn

Die Klasse   der Ordinalzahlen ist durch   wohlgeordnet.

Verwendet wird

(1) Ordinalzahlen enthalten sich nicht selbst als Element
(2) Durchschnitte von Ordinalzahlen sind Ordinalzahlen

Zu zeigen ist:

  1. Je zwei Ordinalzahlen sind vergleichbar, d.h. für Ordinalzahlen   gilt entweder   oder   oder  
    Seien   zwei Ordinalzahlen. Falls   und  , so wegen der Transitivität von   auch   im Widerspruch zu (1). Falls   und   bzw.   und  , folgt direkt ebenfalls  , also derselbe Widerspruch. Somit können zumindest nicht mehrere der Eigenschaften  ,  ,   zugleich zutreffen.
    Falls   folgt mit   aus (2), dass   oder  . Somit ist die Trichotomiebedingung erfüllt.
  2. Jede nichtleere Klasse   von Ordinalzahlen enthält ein  -minimales Element
    Da   nicht leer ist, gibt es eine Ordinalzahl  . Wenn es kein   mit   gibt, ist   bereits minimal. Ansonsten ist die Menge   eine nichtleere Teilmenge von   und enthält folglich ein minimales Element  . Auch für jedes   gilt   oder  , auf jeden Fall also  . Insgesamt ist also   auch minimales Element von  .