Beweisarchiv: Mengenlehre: Auswahlaxiom2

Beweisarchiv: Mengenlehre

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Sätze die in ZF Äquivalent zum Auswahlaxiom sind: Alternative Darstellung des Auswahlaxioms · Wohlordnungssatz · Lemma von Zorn


Äquivalenz der verschiedenen Darstellungsweisen des Auswahlaxioms

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Voraussetzung

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Die Axiome von ZF

Behauptung

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Folgende beiden Sätze sind äquivalent:

Auswahlaxiom Form 1: Ist   eine Menge von paarweise disjunkten nichtleeren Mengen, dann gibt es eine Menge, die genau ein Element aus jedem Element von   enthält.

Auswahlaxiom Form 2: Ist   eine Menge nichtleerer Mengen, dann gibt es eine Funktion  , die jedem Element   von   ein Element von   zuordnet. (Die Funktion   heißt dann Auswahlfunktion von  .

Beweis aus Form 1 folgt Form 2

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Sei   eine Menge nichtleerer Mengen.

Sei  

  ist eine Menge von paarweise disjunkten nichtleeren Mengen.

Wenn die Form 1 des Auswahlaxioms stimmt, dann gibt es eine Menge  , die genau ein Element aus jedem Element von   enthält.

  ist dann eine Funktion, die jedem Element von   eines seiner Elemente zuordnet.

Also folgt aus der Form 1 des Auswahlaxioms die Form 2.

Beweis aus Form 2 folgt Form 1

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Sei A eine Menge von paarweise disjunkten nichtleeren Mengen.

Nach Auswahlaxiom Form 2 gibt es eine Funktion  , die jedem Element   von   ein Element von   zuordnet. Das Bild dieser Menge ist eine Menge, die genau ein Element aus jedem Element von   enthält.

Also folgt aus dem Auswahlaxiom Form 2 das Auswahlaxiom Form 1.