Beweisarchiv: Mengenlehre: Auswahlaxiom2
- Charakteristikum unendlicher Mengen
- Injektivität Surjektivität Bijektivität: Faktoren · Komposition · Linksinverse · Linkskürzbarkeit · Rechtsinverse · Rechtskürzbarkeit
- Verkettungen: Assoziativgesetz der Hintereinanderausführung
- Mächtigkeiten (Kardinalzahlen): lineare Ordnung · Kardinalität und Bijektionen · Potenzmenge
- Deskriptive Mengenlehre: Satz von Young
- Rechenregeln für Mengenoperationen: Assoziativgesetze · Distributivgesetze · Differenzgesetze · Grundeigenschaften der Inklusion · De Morgansche Regeln für Mengen · Bild und Urbild
- Ordinalzahlen: Ordinalzahlen enthalten sich nicht selbst als Element · Elemente von Ordinalzahlen sind Ordinalzahlen · Durchschnitte von Ordinalzahlen sind Ordinalzahlen · Wohlordnung der Klasse aller Ordinalzahlen · Ordinalzahlen bilden eine echte Klasse · Der Nachfolger einer Ordinalzahl ist Ordinalzahl · Vereinigungen von Ordinalzahlen sind Ordinalzahlen · Limes- und Nachfolgerzahlen · Äquivalenz verschiedener Definitionen
- Sätze die in ZF Äquivalent zum Auswahlaxiom sind: Alternative Darstellung des Auswahlaxioms · Wohlordnungssatz · Lemma von Zorn
Äquivalenz der verschiedenen Darstellungsweisen des Auswahlaxioms
BearbeitenVoraussetzung
BearbeitenDie Axiome von ZF
Behauptung
BearbeitenFolgende beiden Sätze sind äquivalent:
Auswahlaxiom Form 1: Ist eine Menge von paarweise disjunkten nichtleeren Mengen, dann gibt es eine Menge, die genau ein Element aus jedem Element von enthält.
Auswahlaxiom Form 2: Ist eine Menge nichtleerer Mengen, dann gibt es eine Funktion , die jedem Element von ein Element von zuordnet. (Die Funktion heißt dann Auswahlfunktion von .
Beweis aus Form 1 folgt Form 2
BearbeitenSei eine Menge nichtleerer Mengen.
Sei
ist eine Menge von paarweise disjunkten nichtleeren Mengen.
Wenn die Form 1 des Auswahlaxioms stimmt, dann gibt es eine Menge , die genau ein Element aus jedem Element von enthält.
ist dann eine Funktion, die jedem Element von eines seiner Elemente zuordnet.
Also folgt aus der Form 1 des Auswahlaxioms die Form 2.
Beweis aus Form 2 folgt Form 1
BearbeitenSei A eine Menge von paarweise disjunkten nichtleeren Mengen.
Nach Auswahlaxiom Form 2 gibt es eine Funktion , die jedem Element von ein Element von zuordnet. Das Bild dieser Menge ist eine Menge, die genau ein Element aus jedem Element von enthält.
Also folgt aus dem Auswahlaxiom Form 2 das Auswahlaxiom Form 1.