Beweisarchiv: Mengenlehre: Ordinalzahlen: Durchschnitt

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Satz

Ist $A$ eine nichtleere Menge von Ordinalzahlen, so ist $\bigcap A\in A$. Ferner ist $\bigcap A$ Element jedes anderen Elementes von $A$.

Insbesondere also: Sind $x$ und $y$ zwei Ordinalzahlen, so stimmt $x\cap y$ mit $x$ oder $y$ überein.

Beweis

Sei $A$ eine nichtleere Menge von Ordinalzahlen und $s=\bigcap A$.

Gezeigt wird zunächst, dass $s$ transitiv ist. In der Tat folgt aus $x\in y\in s$, dass $x\in y\in z$ für alle $z\in A$. Da jedes $z\in A$ transitiv ist, folgt $x\in z$ für jedes $z\in A$, also $x\in s$ – der Durchschnitt transitiver Mengen ist transitiv.

Sei $x\in A$ mit $x\neq s$. Zu zeigen ist, dass $s\in x$. Wegen $s\subseteq x$ und $x\neq s$ ist $x\setminus s$ nicht leer und enthält somit ein $\in$-minimales Element $m$. Insbesondere ist $m\notin s$. Sei $t$ ein beliebiges Element von $s$. Als Elemente von $x$ sind $m$ und $t$ vergleichbar. Wegen $t\in s$ führt $m=t$ sofort und $m\in t$ per Transitivität von $s$ auf $m\in s$ im Widerspruch zu $m\notin s$. Daher muss $t\in m$ gelten und somit $s\subseteq m$. Wegen der Minimalität von $m$ gibt es kein $t\in x\setminus s$ mit $t\in m$. Wegen $m\subseteq x$ folgt somit aus $t\in m$ stets $t\in s$, also $m\subseteq s$. Mithin $s=m$ und schließlich $s\in x$. Damit ist die zweite Teilaussage gezeigt.

Zu zeigen ist noch $s\in A$. Da $A$ nicht leer ist, sei $a$ ein beliebiges Element von $A$. Falls $a=s$, sind wir fertig. Ansonsten folgt nach dem eben Gezeigten $s\in a$. Wegen der Ordnungstrichotomie auf der Ordinalzahl $a$ folgt dann $s\notin s$. Folglich gibt es ein $x\in A$ mit $s\notin x$. Da aus $s\neq x$ aber $s\in x$ folgen würde, muss $s=x$ gelten und somit $s\in A$.

Die Spezialfall über $x\cap y$ folgt sofort aus $x\cap y=\bigcap \{x,y\}$.