Beweisarchiv: Mengenlehre: Injektivität Surjektivität Bijektivität: Faktoren

Beweisarchiv: Mengenlehre

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Mächtigkeiten (Kardinalzahlen): lineare Ordnung · Kardinalität und Bijektionen · Potenzmenge
Deskriptive Mengenlehre: Satz von Young
Rechenregeln für Mengenoperationen: Assoziativgesetze · Distributivgesetze · Differenzgesetze · Grundeigenschaften der Inklusion · De Morgansche Regeln für Mengen · Bild und Urbild
Ordinalzahlen: Ordinalzahlen enthalten sich nicht selbst als Element · Elemente von Ordinalzahlen sind Ordinalzahlen · Durchschnitte von Ordinalzahlen sind Ordinalzahlen · Wohlordnung der Klasse aller Ordinalzahlen · Ordinalzahlen bilden eine echte Klasse · Der Nachfolger einer Ordinalzahl ist Ordinalzahl · Vereinigungen von Ordinalzahlen sind Ordinalzahlen · Limes- und Nachfolgerzahlen · Äquivalenz verschiedener Definitionen
Sätze die in ZF Äquivalent zum Auswahlaxiom sind: Alternative Darstellung des Auswahlaxioms · Wohlordnungssatz · Lemma von Zorn


Faktoren einer injektiven, surjektiven oder bijektiven Abbildung

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Voraussetzung

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  und   seien Abbildungen.

Behauptung

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  1. Ist   injektiv, dann ist   injektiv.
  2. Ist   surjektiv, dann ist   surjektiv.
  3. Ist   bijektiv, dann ist   injektiv und   surjektiv.
  1. Sei   injektiv,   und  . Wir müssen   zeigen.
    Aus   folgt  , also  . Da   als injektiv vorausgesetzt ist, gilt  .
  2. Sei   surjektiv und  . Wir müssen ein   mit   finden.
    Da   surjektiv ist, gibt es ein   mit  . Setze  . Dann ist   und wir sind fertig.
  3. Dies folgt aus 1 und 2, da ja bijektiv   injektiv und surjektiv.

Zerlegung einer Abbildung in eine Surjektion und eine Injektion

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Voraussetzung

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  sei eine beliebige Abbildung.

Behauptung

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Es gibt eine Zerlegung  , wobei   surjektiv und   injektiv ist.

Beweis 1

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  sei die Bildmenge von   und   sei die Abbildung, die auf   mit   übereinstimmt, also  . Außerdem sei   die Inklusionsabbildung. Damit sind die Eigenschaften in der Behauptung erfüllt.

Beweis 2

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Durch   ist eine Äquivalenzrelation  auf der Menge   gegeben.   sei die Faktormenge   (also die Menge der Äquivalenzklassen) und   sei die Abbildung, die jedem Element seine Äquivalenzklasse zuordnet.   ist nach Definition surjektiv.   wird nun festgelegt durch  . Diese Abbildung ist wohldefiniert und injektiv und erfüllt die verlangte Eigenschaft  .

Wikipedia-Verweise

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Äquivalenzrelation - Bijektivität - Bildmenge - Injektivität - Inklusionsabbildung - Komposition - Surjektivität - wohldefiniert


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