Beweisarchiv: Mengenlehre: Injektivität Surjektivität Bijektivität: Faktoren
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Faktoren einer injektiven, surjektiven oder bijektiven Abbildung
BearbeitenVoraussetzung
Bearbeitenund seien Abbildungen.
Behauptung
Bearbeiten- Ist injektiv, dann ist injektiv.
- Ist surjektiv, dann ist surjektiv.
- Ist bijektiv, dann ist injektiv und surjektiv.
Beweis
Bearbeiten- Sei injektiv, und . Wir müssen zeigen.
Aus folgt , also . Da als injektiv vorausgesetzt ist, gilt . - Sei surjektiv und . Wir müssen ein mit finden.
Da surjektiv ist, gibt es ein mit . Setze . Dann ist und wir sind fertig. - Dies folgt aus 1 und 2, da ja bijektiv injektiv und surjektiv.
Zerlegung einer Abbildung in eine Surjektion und eine Injektion
BearbeitenVoraussetzung
Bearbeitensei eine beliebige Abbildung.
Behauptung
BearbeitenEs gibt eine Zerlegung , wobei surjektiv und injektiv ist.
Beweis 1
Bearbeitensei die Bildmenge von und sei die Abbildung, die auf mit übereinstimmt, also . Außerdem sei die Inklusionsabbildung. Damit sind die Eigenschaften in der Behauptung erfüllt.
Beweis 2
BearbeitenDurch ist eine Äquivalenzrelation auf der Menge gegeben. sei die Faktormenge (also die Menge der Äquivalenzklassen) und sei die Abbildung, die jedem Element seine Äquivalenzklasse zuordnet. ist nach Definition surjektiv. wird nun festgelegt durch . Diese Abbildung ist wohldefiniert und injektiv und erfüllt die verlangte Eigenschaft .
Wikipedia-Verweise
BearbeitenÄquivalenzrelation - Bijektivität - Bildmenge - Injektivität - Inklusionsabbildung - Komposition - Surjektivität - wohldefiniert
- Charakteristikum unendlicher Mengen
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- Deskriptive Mengenlehre: Satz von Young
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