Beweisarchiv: Mengenlehre: Injektivität Surjektivität Bijektivität: Rechtsinverse

Beweisarchiv: Mengenlehre

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Sätze die in ZF Äquivalent zum Auswahlaxiom sind: Alternative Darstellung des Auswahlaxioms · Wohlordnungssatz · Lemma von Zorn

Surjektivität und rechtsinverse Abbildung

Voraussetzung

$f\colon A\to B$ sei eine Abbildung.

Behauptung

$f\$ ist surjektiv $\Longleftrightarrow$ $f\$ hat eine Rechtsinverse $g\$.

(Dabei heißt $g\colon B\to A$ eine Rechtsinverse zu $f\$, wenn $f\circ g=\mathrm {id} _{B}$ gilt.)

Beweis

• $\Rightarrow$ : $f\$ werde als surjektiv vorausgesetzt. Jedes Element $y\in B$ hat also mindestens ein Urbild unter der Abbildung $f\$. $g\colon B\to A$ sei eine Funktion, die jedem $y\in B$ genau ein Urbild zuweist (eine solche Funktion existiert nach dem Auswahlaxiom). Dann ist $f\circ g=\mathrm {id} _{B}$ erfüllt.
• $\Leftarrow$ : Es gelte $f\circ g=\mathrm {id} _{B}$. Nun sei $b\in B$ gegeben. Wir müssen ein $a\in A$ mit $f(a)=b\$ angeben.
  Die Festlegung $a:=g(b)\$ leistet das Verlangte, denn $f(a)=f(g(b))=\mathrm {id} _{B}(b)=b\$.

Wikipedia-Verweise

Auswahlaxiom - Identische Abbildung - Komposition - Surjektivität - Urbild (Mathematik)

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