Beweisarchiv: Mengenlehre: Mengenoperation: Differenzgesetz

Beweisarchiv: Mengenlehre

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Sätze die in ZF Äquivalent zum Auswahlaxiom sind: Alternative Darstellung des Auswahlaxioms · Wohlordnungssatz · Lemma von Zorn

Durchschnitt mit Differenz

Dieser Beweis kommt aus dem Bereich der Datenbanken und soll zeigen, dass jeder Durchschnitt (INTERSECT) auch mit dem Subtrahieren (MINUS) von Mengen abgebildet werden kann.

Voraussetzung

$A,\ B$ seien beliebige Mengen.

Behauptung

$A\cap B=A\setminus (A\setminus B)$

Beweis

Es ist $x\in A\setminus B$ genau dann, wenn $x\in A\land \neg (x\in B)$, also gilt weiter $x\in A\setminus (A\setminus B)$ genau dann, wenn $x\in A\land \neg (x\in A\land \neg (x\in B))$. Es ist zu zeigen, dass dies äquivalent zu $x\in A\land x\in B$ ist. In der Tat gilt bereits im Rahmen der Aussagenlogik die Äquivalenz von $p\land \neg (p\land \neg q)$ und $p\land q$:

• Es gelte $p\land q$, insbesondere sowohl $p$ als auch $q$. Somit ist $p\land \neg q$ falsch und $\neg (p\land \neg q)$ sowie schließlich $p\land \neg (p\land \neg q)$ wahr.
• Es gelte $p\land \neg (p\land \neg q)$, insbesondere $p$ und $\neg (p\land \neg q)$. Letzteres ist nach De Morgan äquivalent zu $\neg p\lor \neg \neg q$. Wegen $p$ folgt $\neg \neg q$ bzw $q$ (doppelte Negation). Insgesamt ergibt sich also $p\land q$.