Beweisarchiv: Mengenlehre: Mengenoperation: De Morgansche Regeln für Mengen

Beweisarchiv: Mengenlehre

Charakteristikum unendlicher Mengen

Injektivität Surjektivität Bijektivität: Faktoren · Komposition · Linksinverse · Linkskürzbarkeit · Rechtsinverse · Rechtskürzbarkeit

Verkettungen: Assoziativgesetz der Hintereinanderausführung

Mächtigkeiten (Kardinalzahlen): lineare Ordnung · Kardinalität und Bijektionen · Potenzmenge

Deskriptive Mengenlehre: Satz von Young

Rechenregeln für Mengenoperationen: Assoziativgesetze · Distributivgesetze · Differenzgesetze · Grundeigenschaften der Inklusion · De Morgansche Regeln für Mengen · Bild und Urbild

Ordinalzahlen: Ordinalzahlen enthalten sich nicht selbst als Element · Elemente von Ordinalzahlen sind Ordinalzahlen · Durchschnitte von Ordinalzahlen sind Ordinalzahlen · Wohlordnung der Klasse aller Ordinalzahlen · Ordinalzahlen bilden eine echte Klasse · Der Nachfolger einer Ordinalzahl ist Ordinalzahl · Vereinigungen von Ordinalzahlen sind Ordinalzahlen · Limes- und Nachfolgerzahlen · Äquivalenz verschiedener Definitionen

Sätze die in ZF Äquivalent zum Auswahlaxiom sind: Alternative Darstellung des Auswahlaxioms · Wohlordnungssatz · Lemma von Zorn

Sei $X$ eine Menge und seien $A_{i}$ Mengen für $i\in I$ mit beliebiger Indexmenge $I$. Dann gelten die folgenden Gleichungen:

• $X\setminus \left(\bigcup _{i\in I}A_{i}\right)=\bigcap _{i\in I}(X\setminus A_{i})$
• $X\setminus \left(\bigcap _{i\in I}A_{i}\right)=\bigcup _{i\in I}(X\setminus A_{i})$

Spezialfall

Seien $A,B,C$ drei Mengen. Dann gelten die beiden Gleichungen

(a) $A\setminus (B\cup C)=(A\setminus B)\cap (A\setminus C)$ und
(b) $A\setminus (B\cap C)=(A\setminus B)\cup (A\setminus C)$.

Beweis

${\begin{array}{rl}X\setminus \left(\bigcup _{i\in I}A_{i}\right)&{\overset {(1)}{=}}\left\lbrace x\in X\mid x\notin \bigcup _{i\in I}A_{i}\right\rbrace \\&{\overset {(2)}{=}}\left\lbrace x\in X\mid \neg (x\in \bigcup _{i\in I}A_{i})\right\rbrace \\&{\overset {(3)}{=}}\left\lbrace x\in X\mid \neg (\exists i\in I:x\in A_{i})\right\rbrace \\&{\overset {(4)}{=}}\left\lbrace x\in X\mid \forall i\in I:\neg (x\in A_{i})\right\rbrace \\&{\overset {(2)}{=}}\left\lbrace x\in X\mid \forall i\in I:x\notin A_{i}\right\rbrace \\&{\overset {(1)}{=}}\left\lbrace x\in X\mid \forall i\in I:x\in X\setminus A_{i}\right\rbrace \\&{\overset {(5)}{=}}\bigcap _{i\in I}\left(X\setminus A_{i}\right)\end{array}}$

(1): Definition der mengentheoretischen Differenz

(2): Definition von $\notin$

(3): Definition der Vereinigungsmenge

(4): Allaussage ist äquivalent zu verneinter Existenzaussage

(5): Definition der Schnittmenge

Analog gilt für den zweiten Teil:

${\begin{array}{rl}X\setminus \left(\bigcap _{i\in I}A_{i}\right)&=\left\lbrace x\in X\mid x\notin \bigcap _{i\in I}A_{i}\right\rbrace \\&=\left\lbrace x\in X\mid \neg (x\in \bigcap _{i\in I}A_{i})\right\rbrace \\&=\left\lbrace x\in X\mid \neg (\forall i\in I:x\in A_{i})\right\rbrace \\&=\left\lbrace x\in X\mid \exists i\in I:\neg (x\in A_{i})\right\rbrace \\&=\left\lbrace x\in X\mid \exists i\in I:x\notin A_{i}\right\rbrace \\&=\left\lbrace x\in X\mid \exists i\in I:x\in X\setminus A_{i}\right\rbrace \\&=\bigcup _{i\in I}\left(X\setminus A_{i}\right)\end{array}}$

Beweis des Spezialfalls

(a) Die Menge links des Gleichheitszeichens enthält alle Elemente von $A$, die keine Elemente von $B$ oder $C$ sind, also $x\in A\land x\notin B\land x\notin C$. Die rechte Menge enthält alle Elemente, für die gilt $x\in A\land x\notin B\land x\in A\land x\notin C$ also ebenfalls $x\in A\land x\notin B\land x\notin C$, und damit ist die Gleichheit gezeigt.
(b) Die Menge links des Gleichheitszeichens enthält alle Elemente von $A$, die keine Elemente von $B$ und $C$ sind, also $x\in A\land (x\notin B\lor x\notin C)$. Die rechte Menge enthält alle Elemente, für die gilt $(x\in A\land x\notin B)\lor (x\in A\land x\notin C)$, also ebenfalls $x\in A\land (x\notin B\lor x\notin C)$, womit die Gleichheit gezeigt ist