Beweisarchiv: Mengenlehre: Mengenoperation: Grundeigenschaften der Inklusion

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Sätze die in ZF Äquivalent zum Auswahlaxiom sind: Alternative Darstellung des Auswahlaxioms · Wohlordnungssatz · Lemma von Zorn

Definition: „Inklusion“ bedeutet Teilmengenbeziehung.

(a) Die Inklusion ist transitiv, d. h. sind $A\subseteq B$ und $B\subseteq C$, so ist auch $A\subseteq C$.
(b) Es ist $A\cap B\subseteq A\subseteq A\cup B$.
(c) Genau dann ist $A=B$, wenn $A\subseteq B$ und $B\subseteq A$ gelten.

Beweis

(a) Alle Elemente von $A$ sind Elemente von $B$ und alle Elemente von $B$ sind Elemente von $C$. Dies zeigt, dass auch alle Elemente von $A$ Elemente von $C$ sind.
(b) Für alle Elemente $x\in A\cap B$ gilt $x\in A$ und $x\in B$, somit ist $A\cap B$ eine Teilmenge von $A$. Außerdem ist jedes Element von $A$ auch ein Element von $A\cup B$ und wir haben $A\subseteq A\cup B$.
(c) Zu beweisen ist die Äquivalenz $A=B\Leftrightarrow A\subseteq B\land B\subseteq A$.
"$\Rightarrow$": Dies ist klar.
"$\Leftarrow$": $A\subseteq B$ heißt, dass alle Elemente von A auch in B sind und $B\subseteq A$ heißt, dass alle Elemente von B auch in A sind. Somit haben $A$ und $B$ die gleichen Elemente und wir haben $A=B$.